Question

已知圓E過A(-4，0)，B(2，0)，C(0，2

2

)三點(diǎn)．
（1）求圓E的方程；
（2）已知直線l過點(diǎn)M（4，-5），且與圓C相交的弦長(zhǎng)為4，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)圓的方程是（x-a）²+（y-b）²=r²，根據(jù)題意建立關(guān)于a、b、r的方程組，解之即可得到所求圓的方程；
（2）設(shè)直線l方程為y+5=k（x-4），利用點(diǎn)到直線的距離公式和垂徑定理，結(jié)合題中數(shù)據(jù)算出k的值，即可求出滿足條件的直線l方程．

解答：解：（1）設(shè)圓的方程是（x-a）²+（y-b）²=r²，
∵圓E過A(-4，0)，B(2，0)，C(0，2

2

)三點(diǎn)，
∴可得

(-4-a)2+(0-b)2=r2 (2-a)2+(0-b)2=r2 (0-a)2+(2 2 -b)2=r2

，解之得

a=-1 b=0 r=3

，
∴圓的方程為（x+1）²+y²=9；
（2）由（1）得圓的圓心為E（-1，0），半徑r=3，
設(shè)直線l方程為y+5=k（x-4），即kx-y-4k-5=0，
∵直線l與圓C相交的弦長(zhǎng)為|PN|=4，
∴由垂徑定理，得圓心E到l的距離d=

r2-( 1 2 |PN|)2

=

5

，
由點(diǎn)到直線的距離公式，可得

|-k-0-4k-5|

k2+1

=

5

，
解得k=-2或-

1

2

．
∴直線l方程為-2x-y+8-5=0或-

1

2

x-y+2-5=0，化簡(jiǎn)得直線l方程為2x+y-3=0或x+2y+6=0．

點(diǎn)評(píng)：本題給出經(jīng)過三點(diǎn)的圓，求圓的方程并求滿足條件的直線．著重考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)到直線的距離公式和直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．