Question

四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，PC=2，PC⊥BC，異面直線AB與PC所成的角為60°．
（1）求PA的長(zhǎng)；
（2）求三棱錐P-BCD的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取CD的中點(diǎn)O，連接PO，OA，結(jié)合已知和線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，可證得：PO⊥平面ABCD，進(jìn)而可得PO⊥OA，進(jìn)而由勾股定理可得PA的長(zhǎng)；
（2）由（1）可得PO為三棱錐P-BCD的高，求出底面△BCD的面積，代入棱錐體積公式，可得三棱錐P-BCD的體積．

解答： 解：（1）取CD的中點(diǎn)O，連接PO，OA，如下圖所示：

∵四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，PC=2，
異面直線AB與PC所成的角為60°
∴∠PCD=60°
故△PCD為等邊三角形，
∴PO⊥CD，
∵PC⊥BC，CD⊥BC，PC∩CD=C，PC，CD?平面PCD，
∴BC⊥平面PCD，
又∵PO?平面PCD，
∴BC⊥PO，
又由CD∩BC=C，CD，BC?平面ABCD，
∴PO⊥平面ABCD，
又∵OA?平面ABCD，
∴PO⊥OA，
∵PO=

3

，OA=

22+12

=

5

，
故PA=

PO2+OA2

=2

2

；
（2）由（1）中PO⊥平面ABCD，
可得PO為三棱錐P-BCD的高，
由底面△BCD的面積為：

1

2

×2×2=2，
故三棱錐P-BCD的體積V=

1

3

×2×

3

=

2 3

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是棱錐的體積，直線與平面垂直的判定定理，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．