Question

已知函數(shù)f（x），當(dāng)x，y∈R時(shí)，恒有f（x+y）=f（x）+f（y），當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0，試判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用單調(diào)性定義進(jìn)行判斷，設(shè)x₁＜x₂，則利用f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]=f（x₁）+f（x₂-x₁），可得f（x₂）＞f（x₁），即可得到結(jié)論．

解答： 解：設(shè)0＜x₁＜x₂，則f（x₂）=f[x₁+（x₂-x₁）]=f（x₁）+f（x₂-x₁）
又∵x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＞0，∴f（x₁）+f（x₂-x₁）＞f（x₁），
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查用定義法研究函數(shù)的單調(diào)性．正確運(yùn)用定義是關(guān)鍵．