Question

已知三次函數(shù)f(x)=

a

3

x3+bx2+cx+d(a＜b)在R上單調(diào)遞增，則

a+b+c

b-a

的最小值為

 

．

Answer 1

分析：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答：解：f^′（x）=ax²+2bx+c．
∵三次函數(shù)f(x)=

a

3

x3+bx2+cx+d(a＜b)在R上單調(diào)遞增，
∴f^′（x）≥0在R上恒成立（不恒等于0），
∴

a＞0 △=4b2-4ac≤0

，即a＞0，b²≤ac，
∴c≥

b2

a

，
∴

a+b+c

b-a

≥

a+b+ b2 a

b-a

=

a2+ab+b2

a(b-a)

≥

a2+ab+b2

( a+b-a 2 )2

，當(dāng)且僅當(dāng)a=b-a，即b=2a時(shí)取等號，
故

a+b+c

b-a

的最小值為

a2+2a2+4a2

a2

=7
故答案為7

點(diǎn)評：熟練掌握導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．