Question

已知四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐，其中三個(gè)面展開(kāi)后構(gòu)成一直角梯形ABCD，如圖AD⊥AB，AD⊥DC，AB=2，BC=

3

，CD=1，則這個(gè)三棱錐外接球的表面積是

 

（結(jié)果可含π）

Answer 1

分析：如圖所示，取AD中點(diǎn)E，則CE、BE為折線，三角形BEC為底面三角形，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明∠ECB=90°，∠PCB=90°，故各平面三角形都有一個(gè)直角．BE的中點(diǎn)為O，就是外接球的球心，OE就是半徑，求出半徑，即可求出球的表面積．

解答：解：如圖所示，取AD中點(diǎn)E，則CE、BE為折線，三角形BEC為底面三角形，AB=2，BC=

3

，CD=1
AD=

2

，DE=

2

2

，CE=

6

2

，
BE=

3 2

2

CE²+BC²=

9

2

，BE²=

9

2

，
CE²+BC²=BE²，
∠ECB=90°，
按折線折起后，三角形PCB，PC=CD=1，PB=AB=2，BC=

3

，

∠PCB=90°，
故各平面三角形都有一個(gè)直角．
BE的中點(diǎn)為O，就是外接球的球心，OE就是半徑：

3 2

4

外接球的表面積為：4π(

3 2

4

)2=

9π

2

故答案為：

9π

2

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查空間想象能力，邏輯思維能力，以及計(jì)算能力，作圖能力，合理選擇折線是解好本題的突破口、關(guān)鍵點(diǎn)．