Question

已知數(shù)列{a_n}中，a_n＞0，且對(duì)于任意正整數(shù)n有S_n=

1

2

(an+

1

an

)，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由S_n=

1

2

(an+

1

an

)，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=

1

2

(Sn-Sn-1+

1

Sn-Sn-1

)，化為

S

2 n

-

S

2 n-1

=1，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得S_n，進(jìn)而得出a_n．

解答： 解：由S_n=

1

2

(an+

1

an

)，當(dāng)n≥2時(shí)，Sn=

1

2

(Sn-Sn-1+

1

Sn-Sn-1

)，
化為

S

2 n

-

S

2 n-1

=1，
當(dāng)n=1時(shí)，a1=

1

2

(a1+

1

a1

)，a₁＞0，解得a₁=1．
∴數(shù)列{

S

2 n

}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1，
∴

S

2 n

=1+(n-1)=n，
∵?n∈N^*，a_n＞0，
∴Sn=

n

．
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=

n

-

n-1

．
當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立．
∴an=

n

-

n-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了遞推式的應(yīng)用、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了變形能力，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．