Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a₂=3，a_n+2=3a_n+1-ka_n（k≠0）對任意n∈N^*成立，令b_n=a_n+1-a_n，且{b_n}是等比數(shù)列．
（1）求實(shí)數(shù)k的值；　
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

解：（1）∵a₁=1，a₂=3，a₃=9-k，a₄=27-6k，
∴b₁=2，b₂=6-k，b₃=18-5k．
∵{b_n}成等比數(shù)列，∴b₂²=b₁•b₃
解得 k=2或k=0（舍）…（4分）
當(dāng)k=2時(shí)，a_n+2=3a_n+1-2a_n
即 a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），∴
∴k=2時(shí)滿足條件．…（6分）
（2）b_n=2ⁿ…（8分）
a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=1+2+2²+…+2ⁿ=2ⁿ⁺¹（14分）
分析：（1）首先根據(jù)題干條件a₁=1，a₂=3，a_n+2=3a_n+1-ka_n求出a₃=9-k，a₄=27-6k，即可求出b₁=2，b₂=6-k，b₃=18-5k，又知{b_n}成等比數(shù)列，可得b₂²=b₁•b₃，于是可求出k的值．
（2）根據(jù)（1）的條件求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，然后由b_n=a_n+1-a_n，即可求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
點(diǎn)評：本題是中檔題，考查數(shù)列的應(yīng)用，數(shù)列基本知識的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，累加法是數(shù)列求和的常用方法，�？碱}型．