Question

在△ABC中，已知|AB|=2，

|BC|2

|CA|2

=

1

2

，則△ABC面積的最大值為

2

2

．

Answer 1

分析：由題意可得：|AC|=

2

|BC|，設(shè)△ABC三邊分別為2，a，

2

a，三角形面積為S，根據(jù)海侖公式得：16S²=-a⁴+24a²-16=-（a²-12）²+128，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出答案即可．

解答：解：由題意可得：|AC|=

2

|BC|，
設(shè)△ABC三邊分別為2，a，

2

a，三角形面積為S，
所以設(shè)p=

2+a+ 2 a

2

所以根據(jù)海侖公式得：S=

p(p-a)(p-b)(p-c)

=

(a+ 2 a)2-4

4

•

4-( 2 a-a)2

4

，
所以16S²=-a⁴+24a²-16=-（a²-12）²+128，
當(dāng)a²=12時(shí)，即當(dāng)a=2

3

時(shí)，△ABC的面積有最大值，并且最大值為2

2

．
故答案為2

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查海侖公式，以及二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，此題對學(xué)生的運(yùn)算能力要求較高，屬于中檔題．