Question

已知函數(shù)f（x）=（ax²+bx+c）e^-x的圖象過(guò)點(diǎn)（0，2a），且在該點(diǎn)處切線的傾斜角為45°
（1）用a表示b，c；（2）若f（x）在[2，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，再利用條件圖象過(guò)點(diǎn)（0，2a），且在該點(diǎn)處切線的傾斜角為45°，可得，從而問(wèn)題得解．
（2）解決單調(diào)性用導(dǎo)數(shù)，函數(shù)f（x）在[2，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，即f′（x）≥0在[2，+∞）上恒成立．
解答：解：（1）f′（x）=-[ax²+（b-2a）x+c-b]e^-x
由已知得：，∴
（2）由（1）得f′（x）=-（ax²+x-1）e^-x
∵f（x）在[2，+∞）上為單調(diào)遞增函數(shù)，則f′（x）≥0在[2，+∞）上恒成立．
即ax²+x-1≤0對(duì)x∈[2，+∞）恒成立．即對(duì)x∈[2，+∞）恒成立．
令，∵x≥2，∴，∴y的最小值為，∴，
故a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問(wèn)題的處理等知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．