Question

已知m、x∈R，向量

a

=(x，-m)，

b

=((m+1)x，x)．
（1）當m＞0時，若|

a

|＜|

b

|，求x的取值范圍；
（2）若

a

•

b

＞1-m對任意實數(shù)x恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）|

a

|＜|

b

|，可得

a

2＜

b

2，代入向量數(shù)量積的坐標表示可求x的范圍
（2）由題意可得（m+1）x²-mx+m-1＞0恒成立，從而分m+1=0、m+1≠0兩種情況討論進行求解

解答：解：（1）|

a

|2=x²+m²，|

b

|2=(m+1)2x2+x2（4分）
∵|

a

|＜|

b

|
∴x²+m²＜（m+1）x²+x²
∵m＞0
∴(

m

m+1

)2＜x2（6分）
∴x＜-

m

m+1

或x＞

m

m+1

（8分）
（2）∵

a

• 

b

=（m+1）x²-mx（10分）
由題意可得（m+1）x²-mx＞1-m對 任意的實數(shù)x恒成立
即（m+1）x²-mx+m-1＞0對任意x恒成立
當m+1=0即m=-1時，顯然不成立．
從而

m+1＞0 m2-4(m+1)(m-1)＜0

（12分）
解可得

m＞-1 m＞ 2 3 3 或m＜- 2 3 3

∴m＞

2 3

3

（14分）

點評：本題主要考查了向量的數(shù)量積的坐標表示及向量的數(shù)量積的性質(zhì)應用，不等式恒成立問題的轉(zhuǎn)化是解答本題的關(guān)鍵，本題屬于基本知識的綜合應用