Question

已知某企業(yè)原由工人500人，每人每年可為企業(yè)創(chuàng)利潤6萬元，為應對國際金融危機給企業(yè)帶來的不利影響，該企業(yè)實施“優(yōu)化重組，分流增效”的策略，分流出一部分員工待崗，為維護生產(chǎn)穩(wěn)定，該企業(yè)決定待崗人數(shù)不超過原有工人的10%，并且每年給每位待崗工人發(fā)放生活補貼0.5萬元．據(jù)評估，當待崗工人的人數(shù)x不超過原有工人數(shù)的5%時，留崗工人每人每年可為企業(yè)多創(chuàng)利潤 萬元，當待崗員工人數(shù)x超過原有員工的5%，時，留崗員工每人每年可為企業(yè)多創(chuàng)利潤1萬元．
（Ⅰ）試用x表示企業(yè)年利潤y的函數(shù)關系式；
（Ⅱ）為使企業(yè)年利潤y最大，求應安排多少工人待崗？

Answer 1

解：（I）設重組后，該企業(yè)年利潤為y萬元．
當待崗人員不超過5%時，由＞0，x≤500×5%=25，得1≤x≤25（x∈N），
則y=（500-x）（6+）-0.5x
=（500-x）（7-）-0.5x （1≤x≤25（x∈N））
當待崗人員超過5%且不超過10%時，由25＜x≤500×10%，得26≤x≤50（x∈N），
則y=（500-x）（6+1）-0.5x=7（500-x）-0.5x（26≤x≤50（x∈N））
∴，x∈N⁺
（II）當1≤x≤25且x∈N時，有
y=-7.5（x+）+3500.9，
當x=時取最小，而不是整數(shù)，故取x=8時y取得最大值，最大值是3384.65萬元；
當26≤x≤50且x∈N時，函數(shù)y=-7.5x+3500為減函數(shù)．
所以y≤-7.5×26+3500=3305．
綜上所述，當x=8時，y有最大值3384.65萬元．
當x=8 時，年利潤y最大，即為使企業(yè)年利潤y最大，則應安排8名工人待崗！
分析：利用在崗員工人數(shù)乘以留崗員工每人每年可為企業(yè)多創(chuàng)利；分兩段求出企業(yè)年利潤，得到的是分段函數(shù)；利用基本不等式求出第一段函數(shù)的最大值；再利用一次函數(shù)的單調(diào)性求出第二段函數(shù)的最小值，從兩個最小值中比較出最小值．
點評：本題考查將實際問題轉化為數(shù)學問題的能力、考查求分段函數(shù)的最值時分段求再挑出最值中的最值、考查利用基本不等式求函數(shù)的最值注意滿足的條件：一正、二定、三相等．