如圖，已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，AA1＝，M是CC1的中點(diǎn)，求證：AB1⊥A1M．

答案：
解析：

　　證：連AC1，在直角ΔABC中，BC＝1，∠BAC＝30°，

　　∴AC＝A1C1＝．

　　設(shè)∠AC1A1＝α，∠MA1C1＝β

　　∴tanα＝＝＝，

　　tgβ＝＝＝．

　　∵cot(α＋β)＝＝＝0，

　　∴α＋β＝90°　即AC1⊥A1M．

　　∵B1C1⊥C1A1，CC1⊥B1C1，∴B1C1⊥平面AA1CC1，

　　AC1是AB1在平面AA1C1C上的射影．

　　∵AC1⊥A1M，∴由三垂線定理得A1M⊥AB1．

　　解析：不難看出B1C1⊥平面AA1C1C，AC1是AB1在平面AA1C1C上的射影．欲證A1M⊥AB1，只要能證A1M⊥AC1就可以了．

　　評注：本題在證AC1⊥A1M時(shí)，主要是利用三角函數(shù)，證α＋β＝90°，與常見的其他題目不太相同．


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知直三棱柱ABC-A1B1C1，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=4．E、F分別是棱CC1、AB中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：CF⊥BB1；
（Ⅱ）求四棱錐A-ECBB1的體積；
（Ⅲ）判斷直線CF和平面AEB1的位置關(guān)系，并加以證明．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知直三棱柱ABC-A1B1C1，∠ACB=90°，E是棱CC1上動點(diǎn)，F(xiàn)是AB中點(diǎn)，AC=BC=2，AA1=4．
（1）求證：CF⊥平面ABB1；
（2）當(dāng)E是棱CC1中點(diǎn)時(shí)，求證：CF∥平面AEB1；
（3）在棱CC1上是否存在點(diǎn)E，使得二面角A-EB1-B的大小是45°，若存在，求CE
的長，若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知直三棱柱ABC-A1B1C1，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=4，E、F分別是棱CC1、AB中點(diǎn)．
（1）判斷直線CF和平面AEB1的位置關(guān)系，并加以證明；
（2）求四棱錐A-ECBB1的體積．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知直三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長為2，底面△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90°，AC=2，D是A A1的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求異面直線AB和C1D所成的角（用反三角函數(shù)表示）；
（Ⅱ）若E為AB上一點(diǎn)，試確定點(diǎn)E在AB上的位置，使得A1E⊥C1D；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，求點(diǎn)D到平面B1C1E的距離．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2010•莒縣模擬）如圖，已知直三棱柱ABC-A1B1C1，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=4．E、F分別是棱CCl、AB中點(diǎn)．
（I）求證：CF⊥BB1；
（Ⅱ）求四棱錐A-ECBB1的體積；
（Ⅲ）證明：直線CF∥平面AEBl．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案