給出以下5個(gè)命題:
①曲線(xiàn)x2-(y-1)2=1按平移可得曲線(xiàn)(x+1)2-(y-3)2=1;
②設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn),n為常數(shù),,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線(xiàn);
③若橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,P是該橢圓上的任意一點(diǎn),延長(zhǎng)F1P到點(diǎn)M,使|F2P|=|PM|,則點(diǎn)M的軌跡是圓;
④A、B是平面內(nèi)兩定點(diǎn),平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足向量夾角為銳角θ,且滿(mǎn)足 ,則點(diǎn)P的軌跡是圓(除去與直線(xiàn)AB的交點(diǎn));
⑤已知正四面體A-BCD,動(dòng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi),且點(diǎn)P到平面BCD的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離相等,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓的一部分.
其中所有真命題的序號(hào)為   
【答案】分析:①原曲線(xiàn)即為線(xiàn)x2-(y-1)2=1,按向量平移即是把函數(shù)向右平移1個(gè)單位,向下平移2個(gè)單位后得到曲線(xiàn).
②不正確.若動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線(xiàn),則|k|要小于A、B為兩個(gè)定點(diǎn)間的距離;
③充分利用平面幾何圖形的條件特點(diǎn),結(jié)合橢圓的定義,得到|F1Q|為定長(zhǎng),從而確定動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是個(gè)什么圖形.
④以AB所在直線(xiàn)為x軸,AB的垂直平分線(xiàn)為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,先設(shè)P(x,y),欲動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程,即尋找x,y之間的關(guān)系,結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可得到.
⑤由題設(shè)條件將點(diǎn)P到平面ABC距離與到點(diǎn)V的距離相等轉(zhuǎn)化成在面VBC中點(diǎn)P到V的距離與到定直線(xiàn)BC的距離比是一個(gè)常數(shù),依據(jù)圓錐曲線(xiàn)的第二定義判斷出其軌跡的形狀.
解答:解:①原曲線(xiàn)即為x2-(y-1)2=1,則平移后的曲線(xiàn)C為(x-1)2-(y+1)2=1;①不正確.
②若動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線(xiàn),則|k|要小于A、B為兩個(gè)定點(diǎn)間的距離.當(dāng)|k|大于A、B為兩個(gè)定點(diǎn)間的距離時(shí)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡不是雙曲線(xiàn).錯(cuò);
③∵|PF1|+|PF2|=2a,|PQ|=|PF2|,
∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a,
即|F1Q|=2a,
∴動(dòng)點(diǎn)Q到定點(diǎn)F1的距離等于定長(zhǎng)2a,故動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡是圓.故答案:圓.正確;
④以AB所在直線(xiàn)為x軸,AB的垂直平分線(xiàn)為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,
設(shè)A(-a,0),B(a,0),P(x,y),
=(2a,0),=(x+a,y),=(a-x,-y),代入
=0;
整理得y2=4ax,
故點(diǎn)P的軌跡是拋物線(xiàn)(除去與直線(xiàn)AB的交點(diǎn)),
故錯(cuò).
⑤正四面體V-ABC∴面VBC不垂直面ABC,過(guò)P作PD⊥面ABC于D,過(guò)D作DH⊥BC于H,連接PH,
可得BC⊥面DPH,所以BC⊥PH,故∠PHD為二面角V-BC-A的平面角令其為θ
則Rt△PGH中,|PD|:|PH|=sinθ(θ為S-BC-A的二面角).
又點(diǎn)P到平面ABC距離與到點(diǎn)V的距離相等,即|PV|=|PD|
∴|PV|:|PH|=sinθ<1,即在平面VBC中,點(diǎn)P到定點(diǎn)V的距離與定直線(xiàn)BC的距離之比是一個(gè)常數(shù)sinθ,
面VBC不垂直面ABC,所以θ是銳角,故常數(shù)sinθ<1
故由橢圓定義知P點(diǎn)軌跡為橢圓在面SBC內(nèi)的一部分.故正確.
故答案為:③⑤
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了曲線(xiàn)的平移,向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示,直線(xiàn)與橢圓的相交關(guān)系的綜合應(yīng)用,試題的思路比較清晰,但需要考生具備一定的運(yùn)算能力及邏輯推理能力.本題中求軌跡方程的方法及定義法.定義法:若動(dòng)點(diǎn)軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)、圓等),可用定義直接探求.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

給出以下5個(gè)命題:
①曲線(xiàn)x2-(y-1)2=1按
a
=(1,-2)
平移可得曲線(xiàn)(x+1)2-(y-3)2=1;
②設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn),n為常數(shù),|
PA
|-|
PB
|=n
,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線(xiàn);
③若橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,P是該橢圓上的任意一點(diǎn),延長(zhǎng)F1P到點(diǎn)M,使|F2P|=|PM|,則點(diǎn)M的軌跡是圓;
④A、B是平面內(nèi)兩定點(diǎn),平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足向量
AB
AP
夾角為銳角θ,且滿(mǎn)足 |
PB
| |
AB
| +
PA
AB
=0
,則點(diǎn)P的軌跡是圓(除去與直線(xiàn)AB的交點(diǎn));
⑤已知正四面體A-BCD,動(dòng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi),且點(diǎn)P到平面BCD的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離相等,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓的一部分.
其中所有真命題的序號(hào)為
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

給出以下五個(gè)命題:其中正確命題的序號(hào)是
①②③⑤
①②③⑤

①命題“對(duì)任意x∈Rx2+x+1>0”的否定是“存在x∈Rx2+x+1≤0”
②函數(shù)f(x)=(
1
2
)x-x
1
3
在區(qū)間(0、1)上存在零點(diǎn)
③“a=1”是“函數(shù)y=cos2ax的最小正周期為π”的充分不必要條件
④直線(xiàn)x-2y+5=0與圓x2+y2=8交于A、B兩點(diǎn),則|AB|=2
2

⑤若直線(xiàn)2ax-bx+8=0(a>0,b>0)平分圓x2+y2+4x-8y+1=0周長(zhǎng)則
8
a
+
2
b
最小值為9.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

給出以下五個(gè)命題:
①任意n∈N*,(n2-5n+5)2=1.
②已知f(x)=
x
1+x2
,則
f(f(f(…)))
 n個(gè)
=
x
1+nx2

③設(shè)全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={3,4},B={3,6},則CU(A∪B)={1,2,3,5,6}.
④定義在R上的函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(1,2)上存在唯一零點(diǎn)的充要條件是f(1)•f(2)<0.
⑤已知a>0,b>0,則
1
a
+
1
b
+2
ab
的最小值是4.
其中正確命題的序號(hào)是
②⑤
②⑤

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

規(guī)定函數(shù)y=f(x)圖象上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)距離的最小值叫做函數(shù)y=f(x)的“中心距離”,給出以下四個(gè)命題:以下命題是真命題的是
 
(寫(xiě)出所有其命題的序號(hào))
①函數(shù)y=
1
x
的“中心距離”大于1;
②函數(shù)y=
5-4x-x2
的“中心距離”大于1;
③若函數(shù)y=f(x)(x∈R)與y=g(x)(x∈R)的“中心距離相等”,則函數(shù)L(x)=f(x)-g(x)至少有一個(gè)零點(diǎn);
④f(x)是其定義域上的奇函數(shù),是它的“中心距離”為0的充分不必要條件.

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