Question

已知線段，CD的中點(diǎn)為O，動(dòng)點(diǎn)A滿足AC+AD=2a（a為正常數(shù)）．
（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，求動(dòng)點(diǎn)A所在的曲線方程；
（2）若a=2，動(dòng)點(diǎn)B滿足BC+BD=4，且OA⊥OB，試求△AOB面積的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）先以O(shè)為圓心，CD所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，對(duì)開(kāi)2a與2的大小關(guān)系進(jìn)行分類討論，從而即可得到動(dòng)點(diǎn)A所在的曲線；
（2）當(dāng)a=2時(shí)，其曲線方程為橢圓，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），OA的斜率為k（k≠0），則OA的方程為y=kx，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合涉及弦長(zhǎng)問(wèn)題，常用“韋達(dá)定理法”設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)（即應(yīng)用弦長(zhǎng)公式），求得△AOB面積，最后求出面積的最大值即可，從而解決問(wèn)題．
解答：解：（1）以O(shè)為圓心，CD所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系
若，即，動(dòng)點(diǎn)A所在的曲線不存在；
若，即，動(dòng)點(diǎn)A所在的曲線方程為；
若，即，動(dòng)點(diǎn)A所在的曲線方程為（4分）
（2）當(dāng)a=2時(shí)，其曲線方程為橢圓
由條件知A，B兩點(diǎn)均在橢圓上，且OA⊥OB
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），OA的斜率為k（k≠0），
則OA的方程為y=kx，OB的方程為，解方程組，得，
同理可求得，，
△AOB面積=（8分）
令1+k²=t（t＞1）則
令所以，即
當(dāng)k=0時(shí)，可求得S=1，故，故S的最小值為，最大值為1（12分）
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題、基本不等式、橢圓方程等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．涉及弦長(zhǎng)問(wèn)題，常用“韋達(dá)定理法”設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)（即應(yīng)用弦長(zhǎng)公式）．屬于中檔題．