Question

函數(shù)f（x）=xlog₂x-3的零點所在區(qū)間為（k，k+1）（k∈Z），則k的值是

 

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Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：求f′（x），判斷函數(shù)f（x）取得最值的情況，以及取得零點的情況，及零點的個數(shù)，并且能夠得到函數(shù)f（x）只有一個零點，并且是在（2^-ln2，+∞）內(nèi)．容易判斷f（2）＜0，f（3）＞0，所以零點在區(qū)間（2，3）內(nèi)，所以根據(jù)已知f（x）在（k，k+1），k∈Z，內(nèi)有零點，所以k=2．

解答： 解：f′（x）=ln2+log₂x，令f′（x）=0得，x=2^-ln2，且0＜2^-ln2＜1；
∴x∈（0，2^-ln2）時，f′（x）＜0，x∈（2^-ln2，+∞）時，f′（x）＞0；
∴f（x）在（0，2^-ln2）上單調(diào)遞減，在（2^-ln2，+∞）上單調(diào)遞增；
又x趨向于0時，log₂x＜0，x＞0，∴xlog₂x＜0，即函數(shù)f（x）在（0，2^-ln2）內(nèi)不存在零點；
又∵f（2）=2-3＜0，f（3）=3log₂3-3＞0；
∴f（x）在區(qū)間（2，3）內(nèi)存在一個零點，且在（2^-ln2，+∞）內(nèi)只有一個零點；
由已知f（x）零點所在區(qū)間為（k，k+1），（k∈Z）；
∴k=2．
故答案為：2．

點評：考查通過判斷函數(shù)導數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，以及函數(shù)零點的概念，以及單調(diào)函數(shù)取得零點的情況．