Question

3．已知a，b均為大于1的實數(shù)．則2${\;}^{lo{g}_{a}b}$+4${\;}^{lo{g}_a}$的最小值為${2}^{\sqrt{2}+1}$．

Answer 1

分析 先換元，設t=log_ab，原式可寫成${2}^{t}+{4}^{\frac{1}{t}}$，再兩次運用基本不等式進行放縮，并且兩次放縮取等條件一致，從而得出原式的最小值．

解答 解：設t=log_ab，則$\frac{1}{t}$=log_ba，
因為，a＞1，b＞1，所以，t＞0，$\frac{1}{t}$＞0，
原式=2${\;}^{lo{g}_{a}b}$+4${\;}^{lo{g}_a}$=${2}^{t}+{4}^{\frac{1}{t}}$，
根據(jù)基本不等式，
${2}^{t}+{4}^{\frac{1}{t}}$≥2•$\sqrt{{2}^{t}•{4}^{\frac{1}{t}}}$=2•$\sqrt{{2}^{t+\frac{2}{t}}}$≥2$\sqrt{{2}^{2\sqrt{2}}}$=${2}^{\sqrt{2}+1}$，
所以，2${\;}^{lo{g}_{a}b}$+4${\;}^{lo{g}_a}$的最小值為${2}^{\sqrt{2}+1}$，
當且僅當：2^t=${4}^{\frac{1}{t}}$且t=$\frac{2}{t}$，即t=$\sqrt{2}$（兩次放縮取等條件一致），原式取得最小值，
故答案為：${2}^{\sqrt{2}+1}$．

點評 本題主要考查了基本不等式在求最值問題中的應用，涉及對數(shù)的運算和換元法的運用，尤其是兩次放縮能同時取等，屬于中檔題．