Question

設拋物線C的方程為：y²=2px（p＞0），焦點為F，過點F作直線交拋物線C于A、B兩點，且

AF

=2

F B

（1）若設直線AB的方程為x=ay+

p

2

的形式，求a²的值；
（2）若線段AB的中點到拋物線的準線的距離為

9

4

，求C的方程；
（3）設P（x₀，y₀）（x₀＞2）是（2）中所求拋物線C上的動點，定點Q（2，0），線段PQ的垂直平分線與x軸交于點M（m，0），求實數(shù)m的最小值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）把直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系，再利用數(shù)量積運算即可得出；
（2）利用根與系數(shù)的關系與中點坐標關系、點到直線的距離公式即可得出；
（3）利用中點坐標公式、線段的垂直平分線方程、基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：（1）由拋物線y²=2px（p＞0）可得焦點F(

p

2

，0)，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立

x=ay+ p 2 y2=2px

得：y²-2pay-p²=0，
△=4p²a²+4p²＞0，∴y₁+y₂=2pa，y1y2=-p2．
∵

AF

=2

FB

，∴y₁=-y₂，
可得：

y1=4pa y2=-2pa

代入y1y2=-p2得a2=

1

8

．
（2）準線方程為x=-

p

2

，設AB的中點為D（x_D，y_D），則有xD=

x1+x2

2

=

a(y1+y2)+p

2

=(a2+

1

2

)p，
由（1）知：a2=

1

8

，代入得xD=

5

8

p，
又線段AB的中點到拋物線的準線的距離為

9

4

，
∴xD+

p

2

=

9

4

，解得p=2．
∴拋物線的方程為y²=4x．
（3）P（x₀，y₀），Q（2，0），則PQ的中點為(

x0+2

2

，

y0

2

)，PQ的斜率為

y0

x0-2

，
∴PQ的中垂線的方程為：y-

y0

2

=-

x0-2

y0

(x-

x0+2

2

)，
令y=0，可得m=

y 2 0

2(x0-2)

+

x0+2

2

，
又點P（x₀，y₀）在拋物線上，則

y

2 0

=4x0，
代入得m=

4x0

2(x0-2)

+

x0+2

2

=4+

8

2(x0-2)

+

x0-2

2

，
∵x₀＞2，∴x₀-2＞0，
∴m=4+

8

2(x0-2)

+

x0-2

2

≥4+2

2

，當且僅當x0=2+2

2

時取等，
∴m的最小值為4+2

2

．

點評：本題考查了直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關系、中點坐標公式、向量的運算、基本不等式的性質(zhì)等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．