Question

已知函數(shù)，其中a＞0．
（1）若f（x）在x=1處取得極值，求a的值；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（3）若f（x）的最小值為1，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，令f′（1）=0，即可解出a值．
（2）f′（x）＞0，對(duì)a的取值范圍進(jìn)行討論，分類解出單調(diào)區(qū)間．a(chǎn)≥2時(shí)，在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)，
（3）由（2）的結(jié)論根據(jù)單調(diào)性確定出最小值，當(dāng)a≥2時(shí)，由（II）知，f（x）的最小值為f（0）=1，恒成立；當(dāng)0＜a＜2時(shí)，判斷知最小值小于1，此時(shí)a無(wú)解．當(dāng)0＜a＜2時(shí)，（x）的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為
解答：解：（1），
∵f′（x）在x=1處取得極值，f′（1）=0
  即 a+a-2=0，解得  a=1
（2），
∵x≥0，a＞0，
∴ax+1＞0
①當(dāng)a≥2時(shí)，在區(qū)間（0，+∞）上f′（x）＞0．
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，+∞）
②當(dāng)0＜a＜2時(shí)，由f′（x）＞0解得
由
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為
（3）當(dāng)a≥2時(shí)，由（II）知，f（x）的最小值為f（0）=1
當(dāng)0＜a＜2時(shí)，由（II）②知，處取得最小值，
綜上可知，若f（x）的最小值為1，則a的取值范圍是[2，+∞）
點(diǎn)評(píng)：考查導(dǎo)數(shù)法求單調(diào)區(qū)間與求最值，本類題型是導(dǎo)數(shù)的主要運(yùn)用．