Question

（理）已知圓（x+4）²+y²=25的圓心為M₁，圓（x-4）²+y²=1的圓心為M₂，一個(gè)動(dòng)圓與這兩個(gè)圓都外切． 
（Ⅰ）求動(dòng)圓圓心M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）若經(jīng)過(guò)點(diǎn)M₂的直線與（Ⅰ）中的軌跡C有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，求|AM₁|•|BM₁|的最小值．

Answer 1

分析：（I）利用定義法求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程，先利用圓與圓相切的幾何條件，得到動(dòng)點(diǎn)M滿足的幾何條件，再由曲線定義判斷曲線形狀，最后寫(xiě)出曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（II）將經(jīng)過(guò)點(diǎn)M₂的直線方程設(shè)為x=ty+4形式，代入（I）中的曲線，利用韋達(dá)定理和焦半徑公式，將所求轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)，求其最小值即可

解答：解：（I）∵動(dòng)圓M與這兩個(gè)圓都外切，
∴|MM₁|-5=|MM₂|-1
即|MM₁|-|MM₂|=4，
∵|MM₁|-|MM₂|=4，4＜|M₁M₂|=8
∴動(dòng)圓圓心M的軌跡是以M₁，M₂為焦點(diǎn)的雙曲線的右支
由定義可得 c=4，a=2，b²=12
∴動(dòng)圓圓心M的軌跡C的方程為

x2

4

-

y2

12

=1（x≥2）
（II）∵M(jìn)₂（4，1），
∴設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)M₂的直線方程為x=ty+4
代入雙曲線方程

x2

4

-

y2

12

=1，并整理得（3t²-1）y²+24ty+36=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有△＞0，y₁+y₂=-

24t

3t2-1

，y₁y₂=

36

3t2-1

由y₁y₂＜0，得t2＜

1

3

而|AM₁|•|BM₁|=e（x₁+1）•e（x₂+1）=4（ty₁+5）（ty₂+5）
=4[t²（y₁y₂）+5t（y₁+y₂）+25]
=4[t²•

36

3t2-1

+5t•（-

24t

3t2-1

）+25]
=-112×（1+

1

3t2-1

）+100
∵-1≤3t²-1＜0
∴當(dāng)3t²-1=-1時(shí)，即t=0時(shí)，|AM₁|•|BM₁|取得最小值100

點(diǎn)評(píng)：本題考查了定義法求動(dòng)點(diǎn)軌跡方程的方法，直線與雙曲線的位置關(guān)系，韋達(dá)定理的應(yīng)用及設(shè)而不求的解題技巧