Question

已知直線l：y=2x-1與拋物線C：y²=2px（p＞0）交于A、B兩點，若拋物線上存在點M，使△MAB的重心恰好是拋物線C的焦點F，則p=________．

Answer 1

2
分析：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₃，y₃），F(xiàn)（），聯(lián)立方程整理可得，4x²-2（p+2）x+1=0，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得•x₁+x₂，進(jìn)而可得y₁+y₂=，代入三角形的重心坐標(biāo)公式可得，可求M，代入拋物線的方程可求P
解答：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₃，y₃），F(xiàn)（）
聯(lián)立方程整理可得，4x²-2（p+2）x+1=0
∴，y₁+y₂=2（x₁+x₂）-2=p
由三角形的重心坐標(biāo)公式可得，
∴，代入拋物線的方程可得（-p）²=2p（p-1）
∴p=2
故答案為：2
點評：本題主要考查了直線與拋物線的相交關(guān)系的應(yīng)用，方程的根與系數(shù)關(guān)系及三角形的重心坐標(biāo)公式的綜合應(yīng)用．