Question

已知點(diǎn)和圓：．

（Ⅰ）過點(diǎn)的直線被圓所截得的弦長為，求直線的方程；

（Ⅱ）試探究是否存在這樣的點(diǎn)：是圓內(nèi)部的整點(diǎn)（平面內(nèi)橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)），且△OEM的面積？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）方程為：或；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）當(dāng)所求直線的斜率不存在時(shí)，弦長為，符合要求.此時(shí)直線方程為：；若斜率在時(shí)，可設(shè)直線的斜率為，根據(jù)點(diǎn)斜式寫出直線方程，求出圓心到直線的距離，再由勾股定理得到：，解得；（Ⅱ）連結(jié),求出圓與軸的兩個(gè)交點(diǎn).并連結(jié),得到，因此要使，那么點(diǎn)必在經(jīng)過點(diǎn),且與直線平行的直線上.結(jié)合點(diǎn)所在象限，可以求出為.

試題解析：（Ⅰ）當(dāng)所求直線的斜率不存在時(shí)，弦長為，符合要求,此時(shí)；

若直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為，那么直線的方程為：.

所以圓心到直線的距離，又因?yàn)榘霃?img src="http://thumb2018.1010pic.com//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014042404141625009227/SYS201404240415180312813080_DA.files/image021.png">弦長為.

所以，解得：.

所以所求直線方程為：或；

（Ⅱ）連結(jié)，點(diǎn)滿足,

過，作直線的平行線．

∵

∴直線、的方程分別為：

、

設(shè)點(diǎn) （且）

∴

分別解與，得 與

∵∴為偶數(shù)，在上對應(yīng)的

在上，對應(yīng)的

∴滿足條件的點(diǎn)存在，共有6個(gè)，它們的坐標(biāo)分別為：

．

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，直線方程.