Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax+b，（a，b∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）曲線y=f（x）在x=0處的切線方程為3ax+y-2a=0，且y=f（x）與x軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：分類討論,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，再對(duì)a討論，分a≤0，a＞0兩種，令f'（x）＞0，f'（x）＜0，求出單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）由條件先求出切線的斜率，再用點(diǎn)斜式方程寫(xiě)出切線方程，得到b=2a，根據(jù)（Ⅰ）的結(jié)論，對(duì)a分別討論a≤0，a＞0，當(dāng)a≤0時(shí)，顯然成立；當(dāng)a＞0時(shí)，求出函數(shù)的極大值和極小值，由y=f（x）的圖象與x軸有且只有一個(gè)公共點(diǎn)得極大值小于0或極小值大于0，解出不等式求并集即可．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f'（x）=3x²-3a，
（1）當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）≥0恒成立，此時(shí)f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）=0，得x=±

a

，
令f'（x）＞0，得x＜-

a

或x＞

a

，
令f'（x）＜0，得-

a

＜x＜

a

，
∴f（x）在(-∞，-

a

)和(

a

，+∞)上是增函數(shù)，
在[-

a

，

a

]上是減函數(shù)；
（Ⅱ）∵f'（0）=-3a，f（0）=b，
∴曲線y=f（x）在x=0處的切線方程為y-b=-3ax，
即3ax+y-b=0，
∴b=2a，
∴f（x）=x³-3ax+2a，
由（Ⅰ）知，
（1）當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在區(qū)間（-∞，+∞）單調(diào)遞增，所以題設(shè)成立，
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在x=-

a

處達(dá)到極大值，在x=

a

處達(dá)到極小值，
此時(shí)題設(shè)成立等價(jià)條件是f(-

a

)＜0或f(

a

)＞0，
即：(-

a

)3-3a(-

a

)+2a＜0或(

a

)3-3a(

a

)+2a＞0
即：-a

a

+3a

a

+2a＜0或a

a

-3a

a

+2a＞0，
解得：0＜a＜1，
由（1）（2）可知a的取值范圍是（-∞，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用：求切線方程，求單調(diào)區(qū)間，求極值，同時(shí)考查分類討論的思想方法，以及解不等式的運(yùn)算能力，注意分清最終求解集的并還是交．