Question

已知a＞0，設(shè)函數(shù)f(x)=

2009x+1+2007

2009x+1

+sinx(x∈[-a，a])的最大值為M，最小值為N，那么M+N=

 

．

Answer 1

分析：要求f（x）的最大值與最小值之和，可分解為求

2009x+1+2007

2009x+1

的最大值與最小值之和sinx的最大值與最小值之和，利用它們的單調(diào)性，求解即可．

解答：解：∵f(x)=

2009x+1+2007

2009x+1

+sinx(x∈[-a，a])
∴設(shè)g（x）=

2009x+1+2007

2009x+1

，
則g（x）=

2009x+1+2009-2

2009x+1

=2009-

2

2009x+1

，
∵2009^x是R上的增函數(shù)，∴g（x）也是R上的增函數(shù)．
∴函數(shù)g（x）在[-a，a]上的最大值是g（a），最小值是g（-a）．
∵函數(shù)y=sinx是奇函數(shù)，它在[-a，a]上的最大值與最小值互為相反數(shù)，最大值與最小值的和為0．
∴函數(shù)f（x）的最大值M與最小值N之和M+N=g（a）+g（-a）
=2009-

2

2009a+1

+2009-

2

2009-a+1

…第四項(xiàng)分子分母同乘以2009^a
=4018-[

2

2009a+1

+

2×2009a

2009a+1

]
=4018-2=4016．
故答案為4016．

點(diǎn)評：本題通過求函數(shù)的最值問題，綜合考查了有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，正弦函數(shù)的單調(diào)性，難度比較大．