已知f0（x）=xn，，其中k≤n（n，k∈N+），設(shè)F（x）=，x∈[-1，1]。
（1）寫出f1（1）；
（2）證明：對(duì)任意的x1，x2∈[-1，1]，恒有|F（x1）-F（x2）|≤2n-1（n+2）-n-1。
解：（1）由已知推得
從而有.
（2）當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，
所以F（x）在[0，1]上為增函數(shù)
因函數(shù)F（x）為偶函數(shù)，
所以F（x）在[-1，0]上為減函數(shù)
所以對(duì)任意的x1，x2∈[-1，1]恒有


又∵
∴
∴


因此結(jié)論成立。，
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•泉州模擬）已知f0(x)=x•ex，f1（x）=f′0（x），f2（x）=f′1（x），…，fn（x）=f′n-1（x）（n∈N*）．
（Ⅰ）請(qǐng)寫出fn（x）的表達(dá)式（不需證明）；
（Ⅱ）設(shè)fn（x）的極小值點(diǎn)為Pn（xn，yn），求yn；
（Ⅲ）設(shè)gn(x)=-x2-2(n+1)x-8n+8，gn（x）的最大值為a，fn（x）的最小值為b，試求a-b的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知fk（x）=（n-k+1）xn-k（其中k≤n，k，n∈N），F(xiàn)（x）=Cn°f0（x2）+Cn1f1（x2）+…+Cnkfk（x2）+…+Cnnfn（x2），x∈[-1，1]
（1）試用n，k表示：F（1），F(xiàn)（0）
（2）證明：F（1）-F（0）≤2n-1（n+2）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

已知fk（x）=（n-k+1）xn-k（其中k≤n，k，n∈N），F(xiàn)（x）=Cn°f0（x2）+Cn1f1（x2）+…+Cnkfk（x2）+…+Cnnfn（x2），x∈[-1，1]
（1）試用n，k表示：F（1），F(xiàn)（0）
（2）證明：F（1）-F（0）≤2n-1（n+2）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知f0（x）=xn，fk（x）=（1），其中k≤n（n，k∈N*），設(shè)F（x）=f0（x2）+f1（x2）+…+fk（x2）+…+fn（x2），x∈［-1，1］.

（1）寫出fk（1）；

（2）證明：對(duì)任意的x1，x2∈［-1，1］，恒有|F（x1）-F（x2）|≤2n-1（n+2）-n-1.

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