Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3ax²+x，a≠0
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若a=

2

3

，直線y=m與y=f（x）的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求m的取值范圍．

Answer 1

（1）由f（x）=x³-3ax²+x，得f′（x）=3x²-6ax+1．
當(dāng)△=36a²-12≤0，即-

3

3

≤a≤

3

3

時(shí)，f′（x）≥0恒成立，
函數(shù)f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)；
當(dāng)a＜-

3

3

或a＞

3

3

時(shí)，
由x＜a-

3

3

3a2-1

，得f′（x）＞0．
由x＞a+

3

3

3a2-1

，得f′（x）＞0．
由a-

3

3

3a2-1

＜x＜a+

3

3

3a2-1

，得f′（x）＜0．
所以函數(shù)f（x）的增區(qū)間為(-∞，a-

3

3

3a2-1

)，(a+

3

3

3a2-1

，+∞)．
減區(qū)間為(a-

3

3

3a2-1

，a+

3

3

3a2-1

)；
（2）當(dāng)a=

2

3

時(shí)，f（x）=x³-2x²+x．
f′（x）=3x²-4x+1=（3x-1）（x-1）．
當(dāng)x∈(-∞，

1

3

)時(shí)，f′（x）＞0．
當(dāng)x∈(

1

3

，1)時(shí)，f′（x）＜0．
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，f′（x）＞0．
所以f（x）的極大值為f(

1

3

)=

4

27

．
f（x）的極小值為f（1）=0．
所以，直線y=m與y=f（x）的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)m的取值范圍是(0，

4

27

)．