Question

若函數(shù)f（x）=x³-ax²（a＞0）在區(qū)間(

20

3

，+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)，則使方程f（x）=1000有整數(shù)解的實(shí)數(shù)a的個(gè)數(shù)是

 

．

Answer 1

分析：先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用函數(shù)在區(qū)間(

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3

，+∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)的條件得出參數(shù)的取值范圍，再根據(jù)函數(shù)圖象的特征判斷出方程f（x）=1000的解存在的范圍，采用分離常數(shù)法將f（x）=1000變?yōu)閍=x-

1000

x2

，構(gòu)造一個(gè)新的函數(shù)g（x）=x-

1000

x2

，研究其圖象特征即可．

解答：解：對(duì)f（x）求導(dǎo)得f'（x）=3x²-2ax
令f'（x）≥0以求原函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間得3x²-2ax≥0，解得x≤0或x≥

2

3

a．
令f'（x）≤0以求原函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間得3x²-2ax≤0，解得0≤x≤

2

3

a．
由題意知，區(qū)間（

20

3

，+∞）處于增區(qū)間，故

2

3

a≤

20

3

，結(jié)合已知條件a＞0，解得0＜a≤10．
令f（x）=0解得x=0或x=a．
結(jié)合上面的分析可知，在（-∞，a]上，f（x）≤0，在（a，+∞）上，f（x）＞0，所以f（x）=1000的解只能在（a，+∞）上．
由x³-ax²=1000，變形得a=x-

1000

x2

，
記g（x）=x-

1000

x2

，因?yàn)?＜a≤10，所以0＜g（x）≤10．
觀察知，g（x）在x＞0上是增函數(shù)（求導(dǎo)也可得出），
經(jīng)試算，有g(shù)（10）=0，g（14）=8+

44

49

，g（15）=10+

5

9

，可見(jiàn)0＜g（x）≤10的解在區(qū)間（10，15）上，所以x的整數(shù)解只可能是11、12、13、14共4個(gè)，
而a=g（x），g（x）為增函數(shù)，所以相應(yīng)地，a值也只有4個(gè)
故答案為4

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，考查了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的對(duì)應(yīng)，以及方程有整數(shù)解時(shí)利用二分法的思想確定方程解的范圍，本題的技巧性較強(qiáng)，有一定的難度．