Question

8．已知中心在原點O，焦點在x軸上的橢圓，離心率e=$\frac{1}{2}$，且橢圓過點（1，$\frac{3}{2}$）．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）橢圓左，右焦點分別為F₁，F₂，過F₂的直線l與橢圓交于不同的兩點A、B．
（1）求△F₁AB面積的最大值；
（2）△F₁AB的內切圓的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及此時的直線l方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意設出橢圓方程，再由已知列式求得a，b的值，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），不妨y₁＞0，y₂＜0，設直線l的方程為x=my+1，聯立直線方程和橢圓方程，化為關于y的一元二次方程，由根與系數的關系可得${S}_{△{F}_{1}AB}=\frac{1}{2}|{F}_{1}{F}_{2}||{y}_{1}-{y}_{2}|$=$\frac{12\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$，利用換元法結合基本不等式求得△F₁AB面積的最大值；
（2）設△F₁AB的內切圓的半徑R，則△F₁AB的周長=4a=8，${S}_{△{F}_{1}AB}$=（|AB|+|F₁A|+|F₁B|）R=4R，因此${S}_{△{F}_{1}AB}$最大，R就最大，求出半徑R的最大值，可得三角形面積的最大值，同時得到對應的直線l的方程．

解答 解：（Ⅰ）由題意設橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞b＞0）$，
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{c}{a}=\frac{1}{2}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\\{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4^{2}}=1}\end{array}\right.$，解得a²=4，b²=3．
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）（1）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），不妨y₁＞0，y₂＜0，
由題知，直線l的斜率不為零，可設直線l的方程為x=my+1，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，得（3m²+4）y²+6my-9=0，
∴${y}_{1}+{y}_{2}=-\frac{6m}{3{m}^{2}+4}，{y}_{1}{y}_{2}=-\frac{9}{3{m}^{2}+4}$，
則${S}_{△{F}_{1}AB}=\frac{1}{2}|{F}_{1}{F}_{2}||{y}_{1}-{y}_{2}|$=$\frac{12\sqrt{{m}^{2}+1}}{3{m}^{2}+4}$，
令$\sqrt{{m}^{2}+1}=t$（t≥1），則${S}_{△{F}_{1}AB}=\frac{12t}{3{t}^{2}+1}=\frac{12}{3t+\frac{1}{t}}≤3$，
∴△F₁AB面積最大值為3；
（2）設△F₁AB的內切圓的半徑R，
則△F₁AB的周長=4a=8，${S}_{△{F}_{1}AB}$=（|AB|+|F₁A|+|F₁B|）R=4R，
因此${S}_{△{F}_{1}AB}$最大，R就最大，
${S}_{△{F}_{1}AB}$=4R，∴R_max=$\frac{3}{4}$，這時所求內切圓面積的最大值為$\frac{9}{16}π$．
故直線l：x=1，△F₁AB內切圓面積的最大值為$\frac{9}{16}π$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查直線與圓錐曲線位置關系的應用，考查計算能力，體現了“設而不求”的解題思想方法，是中檔題．