Question

已知函數(shù)f（x）=x³-3x²+2b，滿足：f（1+x）+f（1-x）=2b，且方程f（x）-2t=0在區(qū)間[-1，t]（t＞-1）上只有一個解，則實數(shù)t的取值范圍是

1. A.
   
2. B.
   [0，1）∪[3，+∞）∪{2}
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

A
分析：由于f（1+x）+f（1-x）=2b，代入函數(shù)解析式得出b值，從而得出函數(shù)f（x）的解析式，又f（x）-2t=0?f（x）=2t，設(shè)y=f（x），y=2t，畫出這兩個函數(shù)的圖象，如圖所示．下面結(jié)合圖象就t的取值進行分類討論，即可得到實數(shù)t的取值范圍．
解答：解：由于f（1+x）+f（1-x）=2b，
∴（x+1）³-3（x+1）²+2b+（1-x）³-3（1-x）²+2b=2b
?b=2．
∴f（x）=x³-3x²+4，
又f（x）-2t=0?f（x）=2t，設(shè)y=f（x），y=2t，
畫出這兩個函數(shù)的圖象，如圖所示．
在方程f（x）-2t=0中令x=t得：t³-3t²+4-2t=0，
?（t-1）（t²-2t-4）=0?t=1或t=1±，
①當(dāng)t∈[0，1]時，它們在區(qū)間[-1，t]（t＞-1）上只有一個交點；
②當(dāng)t=2時，它們在區(qū)間[-1，t]（t＞-1）上只有一個交點；
③當(dāng)t∈[1，+∞）時，它們在區(qū)間[-1，t]（t＞-1）上只有一個交點；如圖．
綜上所述，則實數(shù)t的取值范圍是．
故選A．
點評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、根的存在性及根的個數(shù)判斷、方程的解法等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．