Question

設M、N為拋物線C：y＝x2上的兩個動點，過M、N分別作拋物線C的切線l1、l2，與x軸分別交于A、B兩點，且l1與l2相交于點P，若|AB|＝1．

(1)求點P的軌跡方程；

(2)求證：△MNP的面積為一個定值，并求出這個定值．

 

Answer 1

（1）y＝x2－1 （2）見解析

【解析】(1)設M(m，m2)，N(n，n2)，則依題意知，切線l1，l2的方程分別為y＝2mx－m2，y＝2nx－n2，則A(，0)，B(，0)．

設P(x，y)，由，得①

因為|AB|＝1，所以|n－m|＝2，

即(m＋n)2－4mn＝4，將①代入上式，得

y＝x2－1．

∴點P的軌跡方程為y＝x2－1．

(2)證明：設直線MN的方程為y＝kx＋b(b>0)．

聯立方程

消去y，得x2－kx－b＝0．

所以m＋n＝k，mn＝－b．②

點P到直線MN的距離

d＝，

|MN|＝|m－n|，

∴S△MNP＝d·|MN|

＝|k()－mn＋b|·|m－n|

＝·(m－n)2·|m－n|＝2．

即△MNP的面積為定值2．