Question

設有一組圓C_m：（x-2m-1）²+（y-m-1）²=4m²（m為正整數），下列四個命題：
①存在一條定直線與所有的圓均相交
②存在一條定直線與所有的圓均不相交
③所有的圓均不經過原點
④存在一條定直線與所有的圓均相切
其中真命題的序號是

 

．（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：直線與圓,簡易邏輯

分析：根據圓的方程找出圓心坐標，發(fā)現滿足條件的所有圓的圓心在一條直線上，所以這條直線與所有的圓都相交，①正確；
由所有圓相離且圓心在一定直線向上，說明②正確；
利用反證法，假設經過原點，將（0，0）代入圓的方程得不到正整數m說明③正確；
求出m=1、2時的兩圓的外公切線，該公切線滿足與所有的圓相切．

解答： 解：根據題意得：圓心（2m+1，m+1），
圓心在直線x-2y+1=0上，故存在直線x-2y+1=0與所有圓都相交，選項①正確；
考慮兩圓的位置關系，
圓m：圓心（2m+1，m+1），半徑為2m，
圓m+1：圓心（2m+3，m+2），半徑為2（m+1），
兩圓的圓心距d=

(2m+3-2m-1)2+(m+2-m-1)2

=

5

，兩圓的半徑之差R-r=2，
任意兩圓相離，選項②正確；
將（0，0）帶入圓的方程，則有（2m+1）²+（m+1）²=4m²，即m²+6m+2=0，此方程無正整數解．
選項③正確；
直線x=1滿足與所有的圓相切，④正確．
故答案為：①②③④．

點評：本題是一道綜合題，要求學生會將直線的參數方程化為普通方程，會利用反證法進行證明，會利用數形結合解決實際問題，是中檔題．