Question

如圖，三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分線段PC，且分別交AC、PC于D、E兩點(diǎn)，又PB=BC，PA=AB．
（1）求證：PC⊥平面BDE；
（2）若點(diǎn)Q是線段PA上任一點(diǎn)，判斷BD、DQ的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）若AB=2，求三棱錐B-CED的體積．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知，易證出BE⊥PC，DE⊥PC，所以可證PC⊥平面BDE；
（2）若點(diǎn)Q是線段PA上任一點(diǎn)，則動直線DQ形成平面PAC，考察BD和平面PAC的關(guān)系來判斷BD、DQ的位置關(guān)系．
（3）利用V _B-CED=S_△DEC•BD可求體積．
解答：解：（1）證明：由等腰三角形PBC，得BE⊥PC，又DE垂直平分PC，
∴DE⊥PC，且DE∩BE=E，
∴PC⊥平面BDE；
（2）由（Ⅰ）PC⊥平面BDE，BD?平面BDE，
∴PC⊥BD  
同理，∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BD，
又PA∩PC=P，
∴BD⊥面APC，
DQ?面APC，
∴BD⊥DQ．
所以點(diǎn)Q是線段PA上任一點(diǎn)都有BD⊥DQ
 （3）∵PA=AB=2，
∴，
∵AB⊥BC，
∴S_△ABC==2．AC=2
∴CD==，即S_△DCB=S_△ABC，又E是PC的中點(diǎn)
∴V _B-CED=S_△ABC•PA=．
點(diǎn)評：本題考查直線和直線、直線和平面垂直關(guān)系的判定，幾何體體積計算．考察空間想象能力、計算能力、推理論證能力．