Question

某地綠化治理沙漠需要大量用水，第1年的用水量約為100（百?lài)崳�，�?年的用水量約為120（百?lài)崳�．該地政府綜合各種因素預(yù)測(cè)：①每年的用水量會(huì)逐年增加；②每年的用水量都不能達(dá)到130（百?lài)崳�．某校�?shù)學(xué)興趣小組想找一個(gè)函數(shù)y=f（x）來(lái)擬合該項(xiàng)目第x（x≥1）年與當(dāng)年的用水量y（單位：百?lài)崳┲�間的關(guān)系，則函數(shù)y=f（x）必須符合預(yù)測(cè)①：f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增；預(yù)測(cè)②：f（x）＜130對(duì)x∈[1，+∞）恒成立．
（1）若f（x）=

m

x

+n，試確定m，n的值，并考察該函數(shù)是否符合上述兩點(diǎn)預(yù)測(cè)；
（2）若f（x）=a•b^x+c（b＞0，b≠1），欲使得該函數(shù)符合上述兩點(diǎn)預(yù)測(cè)，試確定b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專(zhuān)題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)題意可知，點(diǎn)（1，100）和（2，120）均在函數(shù)f（x）上，代入即可求得m，n的值，確定函數(shù)f（x）=-

40

x

+140，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，即可確定f（x）的單調(diào)性，和f（x）的取值范圍，對(duì)應(yīng)預(yù)測(cè)①②，即可判斷出答案；
（2）根據(jù)題意可知，點(diǎn)（1，100）和（2，120）均在函數(shù)f（x）上，代入即可求得a與b的關(guān)系，c與b的關(guān)系，將a和c都用b來(lái)表示，得到f（x）的解析式，要滿(mǎn)足預(yù)測(cè)①，則f′（x）＞0，確定出兩種情況，對(duì)兩種情況分別研究預(yù)測(cè)②的恒成立問(wèn)題，即可求得實(shí)數(shù)b的取值范圍．

解答： 解：（1）將（1，100）、（2、120）代入到f（x）=

m

x

+n中，得

100=m+n 120= m 2 +n

，
解得m=-40，n=140，
∵f（x）=-

40

x

+140，
∴f′（x）=

40

x2

＞0，
故f（x）在[1，+∞） 上單調(diào)遞增，符合預(yù)測(cè)①；                          
又當(dāng)x≥4 時(shí)，f（x）=-

40

x

+140≥130，
∴此時(shí)f（x）不符合預(yù)測(cè)②；
（2）∵f（x）=a•b^x+c（b＞0，b≠1），
將（1，100）、（2、120）代入到f（x）=a•b^x+c，
∴

100=ab+c 120=ab2+c

，解得a=

20

b(b-1)

，c=100-

2

b-1

，
∴f′（x）=ab^xlnb，要想符合預(yù)測(cè)①，則f′（x）＞0，
∴alnb＞0，
∴

a＞0 b＞1

或

a＜0 0＜b＜1

，
①當(dāng)b＞1時(shí)，a=

20

b(b-1)

＞0，此時(shí)符合預(yù)測(cè)①，
但由f（x）≥130，解得x≥logb(

3

2

b2-

b

2

)，
即當(dāng)x≥logb(

3

2

b2-

b

2

)時(shí)，f（x）≥130，
∴此時(shí)f（x）不符合預(yù)測(cè)②；
②當(dāng)0＜b＜1，a=

20

b(b-1)

＜0，此時(shí)符合預(yù)測(cè)①，
又由x≥1，知b^x∈（0，b]，
∴ab^x∈[ab，0），
∴f（x）∈[ab+c，c），
要使得f（x）也符合預(yù)測(cè)②，則c≤130，
∴100-

20

b-1

≤130，
又0＜b＜1，解得0＜b≤

1

3

．
綜上所述，b的取值范圍是（0，

1

3

]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．解決實(shí)際問(wèn)題通常有四個(gè)步驟：（1）閱讀理解，認(rèn)真審題；（2）引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果；（4）轉(zhuǎn)譯成具體問(wèn)題作出解答，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．本題考查了運(yùn)用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力．對(duì)于函數(shù)的恒成立問(wèn)題，一般選用參變量分離法、最值法、數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行求解．屬于中檔題．