Question

19．已知f （x）=xlnx．
（I）求f （x） 在[t，t+2]（t是大于0的常數(shù)）上的最小值；
（Ⅱ）證明：?x∈（0，+∞）都有1nx＞$\frac{1}{e^x}$-$\frac{2}{ex}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，由t＞0可得t＞t+2＞$\frac{1}{e}$，然后分0＜t＜$\frac{1}{e}$和t≥$\frac{1}{e}$求得f （x） 在[t，t+2]上的最小值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）=xlnx的最小值是$f{（x）_{min}}=f（{\frac{1}{e}}）=-\frac{1}{e}$，問題等價(jià)于證明$xlnx＞\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}$，設(shè)$m（x）=\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}（x∈（0\;，\;\;+∞））$，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)m（x）的最大值證得結(jié)論．

解答 （Ⅰ）解：f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0，得x=$\frac{1}{e}$．
當(dāng)$x∈（{0\;，\;\;\frac{1}{e}}）\;，\;\;f′（x）＜0\;，\;\;f（x）$單調(diào)遞減；
當(dāng)$x∈（{\frac{1}{e}\;，\;\;+∞}），\;\;f′（x）＞0\;，\;\;f（x）$單調(diào)遞增．
∵$t＞0\;，\;\;t+2＞2＞\frac{1}{e}$，
∴①當(dāng)0＜t＜$\frac{1}{e}$時(shí)$，f{（x）_{min}}=f（{\frac{1}{e}}）=-\frac{1}{e}$；
②當(dāng)t≥$\frac{1}{e}$時(shí)，f（x）_min=f（t）=tlnt．
∴$f（x）_{min}=\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{e}，0＜t＜\frac{1}{e}}\\{tlnt，t≥\frac{1}{e}}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f（x）=xlnx的最小值是$f{（x）_{min}}=f（{\frac{1}{e}}）=-\frac{1}{e}$，
（當(dāng)且僅當(dāng)x=$\frac{1}{e}$時(shí)取到最小值）．
問題等價(jià)于證明$xlnx＞\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}$，設(shè)$m（x）=\frac{x}{e^x}-\frac{2}{e}（x∈（0\;，\;\;+∞））$，
則$m′（x）=\frac{1-x}{e^x}$，可得$m{（x）_{max}}=m（1）=-\frac{1}{e}$，（當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取到最大值）．
從而對一切x∈（0，+∞），都有$lnx＞\frac{1}{e^x}-\frac{2}{ex}$成立．

點(diǎn)評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了函數(shù)構(gòu)造法，是中檔題．