Question

1．定義：如果函數(shù)f（x）在給定區(qū)間[a，b]上存在x₀∈（a，b），滿足$f（{x_0}）=\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$，則稱函數(shù)f（x）是[a，b]上的“斜率等值函數(shù)”，x₀是函數(shù)f（x）的一個(gè)等值點(diǎn)．例如函數(shù)f（x）=x²是[-2，2]上的“斜率等值函數(shù)”，0是它的一個(gè)等值點(diǎn)．給出以下命題：
①函數(shù)f（x）=cosx-1是[-2π，2π]上的“斜率等值函數(shù)”；
②若f（x）是[a，b]上的偶函數(shù)，則它一定是[a，b]上的“斜率等值函數(shù)”；
③若f（x）是[a，b]上的“斜率等值函數(shù)”，則它的等值點(diǎn)x₀≥$\frac{a+b}{2}$；
④若函數(shù)f（x）=x²-mx-1是[-1，1]上的“斜率等值函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（0，2）；
⑤若f（x）=lnx是區(qū)間[a，b]（b＞a≥1）上的“斜率等值函數(shù)”，x₀是它的一個(gè)等值點(diǎn)，則$ln{x_0}＜\frac{1}{{\sqrt{ab}}}$．
其中的真命題有①④⑤．（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

分析 ①由$\frac{f（2π）-f（-2π）}{2π-（-2π）}$=$\frac{cos2π-1-（cos（-2π）-1）}{4π}$=0，而f（0）=cos0-1=0，即可判斷出是否是“斜率等值函數(shù)”；
②反例：f（x）=cosx+1是$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$上的偶函數(shù)，$\frac{f（\frac{π}{2}）-f（-\frac{π}{2}）}{\frac{π}{2}-（-\frac{π}{2}）}$=0，而?x∈$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$，則f（x）≥1，因此f（x）不存在等值點(diǎn)；
③反例：取函數(shù)f（x）=cosx-1是[-4π，4π]上的“斜率等值函數(shù)”，則等值點(diǎn)x₀=-2π是一個(gè)等值點(diǎn)，但是不滿足-2π≥$\frac{-4π+4π}{2}$=0，即可判斷出真假；

④由函數(shù)f（x）是[-1，1]“斜率等值函數(shù)”，$\frac{f（1）-f（-1）}{1-（-1）}$=-m，可得f（x₀）=${x}_{0}^{2}$-mx₀-1=m，m=x₀+1，即可得出實(shí)數(shù)m的取值范圍；
⑤由已知可得$ln{x}_{0}=\frac{lnb-lna}{b-a}$，下面證明$\frac{lnb-lna}{b-a}$＜$\frac{1}{\sqrt{ab}}$，即證明$ln\frac{a}$-$\sqrt{\frac{a}}+\sqrt{\frac{a}}$＜0，令$\sqrt{\frac{a}}$=t＞1，即證明g（t）=2lnt-t+$\frac{1}{t}$＜0，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出．

解答 解：①由$\frac{f（2π）-f（-2π）}{2π-（-2π）}$=$\frac{cos2π-1-（cos（-2π）-1）}{4π}$=0，而f（0）=cos0-1=0，∴函數(shù)f（x）=cosx-1是[-2π，2π]上的“斜率等值函數(shù)”，正確；
②反例：f（x）=cosx+1是$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$上的偶函數(shù)，$\frac{f（\frac{π}{2}）-f（-\frac{π}{2}）}{\frac{π}{2}-（-\frac{π}{2}）}$=0，而?x∈$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$，則f（x）≥1，因此f（x）不是$[-\frac{π}{2}，\frac{π}{2}]$上的“斜率等值函數(shù)”，因此是假命題；
③反例：取函數(shù)f（x）=cosx-1是[-4π，4π]上的“斜率等值函數(shù)”，則等值點(diǎn)x₀=-2π是一個(gè)等值點(diǎn)，但是-2π＜$\frac{-4π+4π}{2}$=0，因此是假命題；

④若函數(shù)f（x）=x²-mx-1是[-1，1]上的“斜率等值函數(shù)”，$\frac{f（1）-f（-1）}{1-（-1）}$=-m，設(shè)x₀∈（-1，1）是函數(shù)f（x）的等值點(diǎn)，則f（x₀）=${x}_{0}^{2}$-mx₀-1=m，
m=x₀+1∈（0，2），因此實(shí)數(shù)m的取值范圍是（0，2），是真命題；
⑤若f（x）=lnx是區(qū)間[a，b]（b＞a≥1）上的“斜率等值函數(shù)”，則$ln{x}_{0}=\frac{lnb-lna}{b-a}$，下面證明$\frac{lnb-lna}{b-a}$＜$\frac{1}{\sqrt{ab}}$，即證明$ln\frac{a}$-$\sqrt{\frac{a}}+\sqrt{\frac{a}}$＜0，
令$\sqrt{\frac{a}}$=t＞1，即證明g（t）=2lnt-t+$\frac{1}{t}$＜0，由g′（t）=$\frac{2}{t}-1-\frac{1}{{t}^{2}}$=$\frac{-（t-1）^{2}}{{t}^{2}}$＜0，∴函數(shù)g（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，∴g（t）＜g（1）=0，因此2lnt-t+$\frac{1}{t}$＜0成立，即
x₀是它的一個(gè)等值點(diǎn)，則$ln{x_0}＜\frac{1}{{\sqrt{ab}}}$．
綜上可得：其中的真命題有 ①④⑤．
故答案為：①④⑤．

點(diǎn)評 本題考查了新定義“斜率等值函數(shù)”、斜率計(jì)算公式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．