將數(shù)列{an}中的所有項按每一行比上一行多一項的規(guī)則排成下表：

記表中的第一列數(shù)a1，a2，a4，a7，……構成的數(shù)列為{bn}，b1＝a1＝1，Sn為數(shù)列{bn}的前n項和，且滿足

(Ⅰ)證明數(shù)列成等差數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的通項公式；

(Ⅱ)上表中，若從第三行起，每一行中的數(shù)從左到右的順序均構成等比數(shù)列，且公比為同一個正數(shù)．當時，求上表中第k(k≥3)行所有項的和．

答案：
解析：

　　標準答案：(Ⅰ)證明：由已知，當時，，又，

　　所以，

　　又．所以數(shù)列是首項為1，公差為的等差數(shù)列．

　　由上可知，．

　　所以當時，．

　　因此

　　(Ⅱ)解：設上表中從第三行起，每行的公比都為，且．

　　因為，

　　所以表中第1行至第12行共含有數(shù)列的前78項，故在表中第31行第三列，

　　因此．又，所以．

　　記表中第行所有項的和為，

　　則．

　　試題分析：由于證明是等差數(shù)列，必為常數(shù)，通過變形實現(xiàn)．確定的準確位置是關鍵利用該項可以求出等比數(shù)列的公比，也為求第行所有項的和提供了依據(jù)．

　　高考考點：等差數(shù)列的證明、等比數(shù)列的前項和．


提示：

陌生的問題情景、大量的信息可能使思路擁塞，要能夠從所給的大量信息中分揀提煉最先需要的關鍵信息，使解決數(shù)列問題更有層次感．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)將數(shù)列{an}中的所有項按每一行比上一行多一項的規(guī)則排成如下表：
記表中的第一列數(shù)a1，a2，a4，a7，…，構成的數(shù)列為{bn}，b1=a1=1，Sn為數(shù)列{bn}的前n項和，且滿足
2bn
bnSn-
S
2
n
=1(n≥2)．
（1）求證數(shù)列{
1
Sn
}成等差數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的通項公式；
（2）上表中，若a81項所在行的數(shù)按從左到右的順序構成等比數(shù)列，且公比q為正數(shù)，求當a81=-
4
91
時，公比q的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知整數(shù)數(shù)列{an}滿足：a1=1，a2=2，且2an-1＜an-1+an+1＜2an+1（n∈N，n≥2）．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）將數(shù)列{an}中的所有項依次按如圖所示的規(guī)律循環(huán)地排成如下三角形數(shù)表：
精英家教網(wǎng)
…
依次計算各個三角形數(shù)表內(nèi)各行中的各數(shù)之和，設由這些和按原來行的前后順序構成的數(shù)列為{bn}，求b5+b100的值；
（3）令cn=2+ban+b•2an-1（b為大于等于3的正整數(shù)），問數(shù)列{cn}中是否存在連續(xù)三項成等比數(shù)列？若存在，求出所有成等比數(shù)列的連續(xù)三項；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

將數(shù)列{an}中的所有項按每一行比上一行多一項的規(guī)則排成如下數(shù)表．記表中第一列數(shù)a1，a2，a4，a7，…構成的數(shù)列為{bn}，b1=a1=1．Sn為數(shù)列{bn}的前n項和，且滿足2bn=bnSn-Sn2（n≥2，n∈N*）．
（1）證明數(shù)列{
1
Sn
}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的通項公式；
（2）圖中，若從第三行起，每一行中的數(shù)按從左到右的順序構成等比數(shù)列，且公比為同一個正數(shù)．當a81=-
4
91
時，求上表中第k（k≥3）行所有數(shù)的和．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

將數(shù)列{an}中的所有項按每一行比上一行多一項的規(guī)則排成如下表：
記表中的第一列數(shù)a1，a2，a4，a7，…，構成的數(shù)列為{bn}，b1=a1=1，Sn為數(shù)列{bn}的前n項和，且滿足數(shù)學公式．
（1）求證數(shù)列數(shù)學公式成等差數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的通項公式；
（2）上表中，若a81項所在行的數(shù)按從左到右的順序構成等比數(shù)列，且公比q為正數(shù)，求當數(shù)學公式時，公比q的值．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011年江蘇省淮安市洪澤中學高考數(shù)學模擬試卷（3）（解析版） 題型：解答題

已知整數(shù)數(shù)列{an}滿足：a1=1，a2=2，且2an-1＜an-1+an+1＜2an+1（n∈N，n≥2）．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）將數(shù)列{an}中的所有項依次按如圖所示的規(guī)律循環(huán)地排成如下三角形數(shù)表：

…
依次計算各個三角形數(shù)表內(nèi)各行中的各數(shù)之和，設由這些和按原來行的前后順序構成的數(shù)列為{bn}，求b5+b100的值；
（3）令（b為大于等于3的正整數(shù)），問數(shù)列{cn}中是否存在連續(xù)三項成等比數(shù)列？若存在，求出所有成等比數(shù)列的連續(xù)三項；若不存在，請說明理由．

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