Question

5．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是BB₁、CD的中點(diǎn)
（1）求AE與D₁F所成的角
（文科）（2）證明：AD⊥D₁F；
（理科）（2）證明：面AED⊥面A₁FD₁．

Answer 1

分析 （1）欲求AE與D₁F所成的角，必須先找出求AE與D₁F所成的角，利用正方體中平行線，即可知道是∠AHA₁是AE與D₁F所成的角即為所求，最后利用證三角形全等即得；
（2）欲證明：AD⊥D₁F，可通過(guò)證明線面垂直得到，故先證AD⊥面DC₁，即可；
（3）欲證明：面AED⊥面A₁FD₁．根據(jù)面面垂直的判定定理知，只須證明線面垂直：D₁F⊥面AED，即得．

解答 （1）解：取AB中點(diǎn)G，連結(jié)A₁G，F(xiàn)G，∵F是CD中點(diǎn)
∴GF平行且等于AD，
∵A₁D₁平行且等于AD，
∴A₁D₁平行且等于GF，
∴GFD₁A₁是平行四邊形，
∴A₁G∥D₁F，
設(shè)AG₁∩AE=H，則∠AHA₁是AE與D₁F所成的角
∵E是BB₁的中點(diǎn)∴Rt△A₁AG≌Rt△ABE
∴∠GA₁A=∠GAH∴∠A₁HA=90°即直線AE與D₁F所成角是直角
（2）證明：AC₁是正方體∴AD⊥面DC₁，又D₁F?面DC₁，∴AD⊥D₁F
（3）證明：∵AD⊥D₁F（（1）中已證）AE⊥D₁F，AD∩AE=A，∴D₁F⊥面AED，
又∵D₁F?面A₁FD₁，
∴面AED⊥面A₁FD₁

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了異面直線及其所成的角、平面與平面垂直的判定，以及空間想象力、轉(zhuǎn)化思想方法，屬于中檔題．