Question

給定項數為的數列，其中.

若存在一個正整數，若數列中存在連續(xù)的k項和該數列中另一個連續(xù)的k項恰好按次序對應相等，則稱數列是“k階可重復數列”，

例如數列

因為與按次序對應相等，所以數列是“4階可重復數列”.

（Ⅰ）分別判斷下列數列

①      ②

是否是“5階可重復數列”？如果是，請寫出重復的這5項；

（Ⅱ）若數為的數列一定是 “3階可重復數列”，則的最小值是多少？說明理由；

（III）假設數列不是“5階可重復數列”，若在其最后一項后再添加一項0或1，均可使新數列是“5階可重復數列”，且，求數列的最后一項的值.

Answer 1

（Ⅰ）①是“5階可重復數列”，重復的這五項為0,0,1,1,0;  不是“5階可重復數列  （Ⅱ）m的最小值是11. （III）

解析:

（Ⅰ）記數列①為，因為與按次序對應相等，所以數列①是“5階可重復數列”，重復的這五項為0,0,1,1,0;                         

記數列②為，因為、、、、 、沒有完全相同的，所以不是“5階可重復數列”.                                                                 ……………….3分

（Ⅱ）因為數列的每一項只可以是0或1，所以連續(xù)3項共有種不同的情形.若m＝11，則數列中有9組連續(xù)3項，則這其中至少有兩組按次序對應相等，即項數為11的數列一定是“3階可重復數列”；若m＝10，數列0,0,1,0,1,1,1,0,0,0不是“3階可重復數列”；則時，均存在不是“3階可重復數列”的數列.所以，要使數列一定

是“3階可重復數列”，則m的最小值是11.                        ……………….8分

（III）由于數列在其最后一項后再添加一項0或1，均可使新數列是“5階可重復數列”，即在數列的末項后再添加一項，則存在，

使得與按次序對應相等，或與按次序對應相等，                                                

如果與不能按次序對應相等，那么必有，，使得、與按次序對應相等.

此時考慮和，其中必有兩個相同，這就導致數列中有兩個連續(xù)的五項恰按次序對應相等，從而數列是“5階可重復數列”，這和題設中數列不是“5階可重復數列”矛盾！所以與按次序對應相等，從而

……………….14分