Question

已知兩定點(diǎn)為A，B且|AB|=4，動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)的距離之比為

1

2

．
（1）適當(dāng)建立直角坐標(biāo)系，并求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程C
（2）若直線l的斜率k=1且與曲線C相切，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）先依據(jù)條件建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)P為（x，y），依據(jù)題中條件：“距離之比”列關(guān)于x，y的方程式，化諳即可得點(diǎn)P的軌跡方程．
（2）設(shè)出切線方程，利用圓心到直線的距離距離等于半徑，即可求出切線方程．

解答：解：選取AB所在直線為橫軸，
從A到B為正方向，以AB中點(diǎn)O為原點(diǎn)，
過O作AB的垂線為縱軸，則A為（-2，0），
B為（2，0），設(shè)P為（x，y）
∵

PA

PB

=

1

2

，∴

(x+2)2+y2

(x-2)2+y2

=

1

2

．
∴4（x+2）²+4y²=（x-2）²+y²，
∴3x²+20x+3y²+20=0．
因?yàn)閤²，y²兩項(xiàng)的系數(shù)相等，且缺xy項(xiàng)，
所以軌跡的圖形是圓．
（2）設(shè)切線l的方程為：y=x+b，
3x²+20x+3y²+20=0化為（x-

10

3

）²+y²=

40

9

的圓心（

10

3

，0），半徑為

2 10

3

．
所以

| 10 3 +b|

12+(-1)2

=

2 10

3

，
解得b=-

10±4 5

3

．
所求直線方程為：y=x-

10±4 5

3

．

點(diǎn)評(píng)：求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中的幾何條件，用“坐標(biāo)化”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系．直接法是將動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件或者等量關(guān)系，直接坐標(biāo)化，列出等式化簡(jiǎn)即得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程．