Question

已知兩定點為A，B且|AB|=4，動點P到兩定點的距離之比為

1

2

．
（1）適當建立直角坐標系，并求動點P的軌跡方程C
（2）若直線l的斜率k=1且與曲線C相切，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）先依據條件建立恰當的直角坐標系，設P為（x，y），依據題中條件：“距離之比”列關于x，y的方程式，化諳即可得點P的軌跡方程．
（2）設出切線方程，利用圓心到直線的距離距離等于半徑，即可求出切線方程．

解答：解：選取AB所在直線為橫軸，
從A到B為正方向，以AB中點O為原點，
過O作AB的垂線為縱軸，則A為（-2，0），
B為（2，0），設P為（x，y）
∵

PA

PB

=

1

2

，∴

(x+2)2+y2

(x-2)2+y2

=

1

2

．
∴4（x+2）²+4y²=（x-2）²+y²，
∴3x²+20x+3y²+20=0．
因為x²，y²兩項的系數相等，且缺xy項，
所以軌跡的圖形是圓．
（2）設切線l的方程為：y=x+b，
3x²+20x+3y²+20=0化為（x-

10

3

）²+y²=

40

9

的圓心（

10

3

，0），半徑為

2 10

3

．
所以

| 10 3 +b|

12+(-1)2

=

2 10

3

，
解得b=-

10±4 5

3

．
所求直線方程為：y=x-

10±4 5

3

．

點評：求符合某種條件的動點的軌跡方程，其實質就是利用題設中的幾何條件，用“坐標化”將其轉化為尋求變量間的關系．直接法是將動點滿足的幾何條件或者等量關系，直接坐標化，列出等式化簡即得動點軌跡方程．