Question

如圖，橢圓（a＞b＞0）的一個焦點為F(1,0)，且過點（2，0）.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）若AB為垂直于x軸的動弦，直線與軸交于點N，直線AF與BN交于點．求證：點M恒在橢圓C上．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）略

解析:

：解法一：

（Ⅰ）由題設a=2,c=1,從而b²=a^2－c²=3,

所以橢圓C前方程為.                    ……………………4分

(Ⅱ)由題意得F(1,0),N(4,0).

設A(m,n),則B(m,－n)(n≠0),=1. ……①

AF與BN的方程分別為：n(x－1)－(m－1)y=0，

n(x－4)+(m－4)y=0.

設M(x₀,y₀),則有  n(x₀－1)－(m－1)y₀=0, ……②

n(x₀－4)+(m－4)y₀=0, ……③

由②，③得

x₀=.                            …………………10分

由于

所以點M恒在橢圓G上.   …………14分

解法二：（Ⅰ）同解法一；…… 4分

(Ⅱ)由題意得F(1,0),N(4,0).設A(m,n),則B(m,－n)(n≠0),=1. ……①

AF與BN的方程分別為：n(x－1)－(m－1)y=0，②

n(x－4)+(m－4)y=0.   ③

由②、③得：當時，，．  ④    ……………10分

由④代入①，得=1（y≠0）.當x=時，由②，③得：

解得與≠0矛盾.所以點M的軌跡方程為即點M恒在錐圓C上.  …14分