Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=2ⁿ-1，n∈N^*
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設(shè)數(shù)列b_n=

1

log2an+1•log2an+2

，試求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由于數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=2ⁿ-1，n∈N^*．利用“當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，當(dāng)n=1時，a₁=S₁”即可得出．
2）b_n=

1

n•(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用“裂項求和”即可得出．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=2ⁿ-1，n∈N^*．
∴當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=（2ⁿ-1）-（2^n-1-1）=2^n-1．
當(dāng)n=1時，a₁=S₁=2-1=1，上式也滿足．
∴a_n=2^n-1．
（2）b_n=

1

log2an+1•log2an+2

=

1

n•(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
則數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

點評：本題考查了遞推式的應(yīng)用、對數(shù)的運算性質(zhì)、“裂項求和”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．