Question

(21)已知f(x)=(x∈R)在區(qū)間［－1,1］上是增函數(shù).

(Ⅰ)求實(shí)數(shù)a的值所組成的集合A;

(Ⅱ)設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=的兩根為x₁、x₂試問:是否存在實(shí)數(shù)m,使得不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對(duì)任意a∈A及t∈［－1,1］恒成立?若存在,求出m的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.

Answer 1

(21)本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和不等式等有關(guān)知識(shí),考查數(shù)形結(jié)合及分類討論思想和靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的能力.

解：(Ⅰ)f′(x)==,

∵f(x)在［－1,1］上是增函數(shù),

∴f′(x)≥0對(duì)x∈［－1,1］恒成立,

即對(duì)x∈［－1,1］恒成立.                ①

設(shè)(x)=x²－ax－2,

方法一:

∵對(duì)x∈［－1,1］,f(x)是連續(xù)函數(shù),且只有當(dāng)a=1時(shí),f′(－1)=0以及當(dāng)a=－1時(shí),f′(1)=0,

∴A={a|－1≤a≤1}.

方法二:

  0≤a≤1或－1≤a<0

－1≤a≤1.

∵對(duì)x∈［－1,1］,f(x)是連續(xù)函數(shù),且只有當(dāng)a=1時(shí),f′(－1)=0以及當(dāng)a=－1時(shí),f′(1)=0,

∴A={a|－1≤a≤1}.

(Ⅱ)由=,得x²－ax－2=0,

∵Δ=a²+8>0,

∴x₁,x₂是方程x²－ax－2=0的兩實(shí)根.

∴從而|x₁－x₂|==.

∵－1≤a≤1,∴|x₁－x₂|=≤3.

要使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對(duì)任意a∈A及t∈［－1,1］恒成立,

當(dāng)且僅當(dāng)m²+tm+1≥3對(duì)任意t∈［－1,1］恒成立,

即m²+tm－2≥0對(duì)任意t∈［－1,1］恒成立.            ②

設(shè)g(t)=m²+tm－2=mt+(m²－2),

方法一:

m≥2或m≤－2

所以,存在實(shí)數(shù)m,使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對(duì)任意a∈A及t∈［－1,1］恒成立,其取值范圍是{m|m≥2或m≤－2}.

方法二:

當(dāng)m=0時(shí),②顯然不成立;

當(dāng)m≠0時(shí),

所以,存在實(shí)數(shù)m,使不等式m²+tm+1≥|x₁－x₂|對(duì)任意a∈A及t∈［－1,1］恒成立,其取值范圍是{m|m≥2或m≤－2}.