Question

11．根據(jù)已知條件求方程：
（1）求與橢圓$\frac{{x}^{2}}{40}$+$\frac{{y}^{2}}{15}$=1有相同焦點，且離心率$e=\frac{5}{4}$的雙曲線的標準方程．
（2）已知橢圓的中心在原點，且過點P（3，2），焦點在x軸上，長軸長是短軸長的3倍，求該橢圓的方程．

Answer 1

分析 （1）設要求的雙曲線的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{m}-\frac{{y}^{2}}{25-m}$=1（m，25-m＞0），可得e=$\frac{5}{4}$=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{25-m}{m}}$，解得m即可得出．
（2）設要求的橢圓標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），可得$\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{4}{^{2}}$=1，2a=3×2b，解出即可得出．

解答 解：（1）設與橢圓$\frac{{x}^{2}}{40}$+$\frac{{y}^{2}}{15}$=1有相同焦點，且離心率$e=\frac{5}{4}$的雙曲線的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{m}-\frac{{y}^{2}}{25-m}$=1（m，25-m＞0），則e=$\frac{5}{4}$=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{25-m}{m}}$，解得m=16．
∴要求的雙曲線標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{16}-\frac{{y}^{2}}{9}$=1．
（2）設要求的橢圓標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），則$\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{4}{^{2}}$=1，2a=3×2b，解得b²=5，a²=45．
∴橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{45}+\frac{{y}^{2}}{5}$=1．

點評 本題考查了橢圓與雙曲線的標準方程及其性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．