已知函數(shù)f(x)（x∈R且x＞0），對(duì)于定義域內(nèi)任意x、y恒有f(xy)=f(x)+f(y)，并且x＞1時(shí)，f(x)＞0恒成立。
（1）求f(1)；
（2）證明方程f(x)=0有且僅有一個(gè)實(shí)根；
（3）若x∈[1，+∞)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解：（1）令x=y=1，則，∴。
（2）任取，則，
由題意，，
又定義域內(nèi)任意x、y恒有f(xy)=f(x)+f(y)，所以f(xy)- f(y)=f(x)，
，
∴，
∴函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，由（1）和f(1)=0，所以1為方程f(x)=0的一個(gè)實(shí)根，若還存在一個(gè)，且＞0，使得，
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，必有，
故方程f(x)=0有且僅有一個(gè)實(shí)根。
（3）由（2）知函數(shù)f(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，
當(dāng)x∈[1，+∞)時(shí)，不等式恒成立，
即，即，
即在x∈[1，+∞)時(shí)，恒成立，
∵，
∴a＞-2。
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(
x
-1)=-x，則函數(shù)f（x）的表達(dá)式為（　�。�
A、f（x）=x2+2x+1（x≥0）
B、f（x）=x2+2x+1（x≥-1）
C、f（x）=-x2-2x-1（x≥0）
D、f（x）=-x2-2x-1（x≥-1）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2013-2014學(xué)年人教版高考數(shù)學(xué)文科二輪專題復(fù)習(xí)提分訓(xùn)練17練習(xí)卷（解析版） 題型：選擇題

已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+),x∈R,其中ω>0,-π<≤π.若f(x)的最小正周期為6π,且當(dāng)x=時(shí),f(x)取得最大值,則(　　)

(A)f(x)在區(qū)間[-2π,0]上是增函數(shù)

(B)f(x)在區(qū)間[-3π,-π]上是增函數(shù)

(C)f(x)在區(qū)間[3π,5π]上是減函數(shù)

(D)f(x)在區(qū)間[4π,6π]上是減函數(shù)

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

已知函數(shù)f(
x
-1)=-x，則函數(shù)f（x）的表達(dá)式為（　�。�
A．f（x）=x2+2x+1（x≥0）B．f（x）=x2+2x+1（x≥-1）
C．f（x）=-x2-2x-1（x≥0）D．f（x）=-x2-2x-1（x≥-1）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

(理)已知函數(shù)f(x)=xlnx.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值;

(2)當(dāng)b＞0時(shí)，求證:bb≥(其中e=2.718 28…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù));

(3)若a＞0,b＞0，證明f(a)+(a+b)ln2≥f(a+b)-f(b).

(文)已知向量m=(x2,y-cx),n=(1,x+b)(x,y,b,c∈R)且m∥n,把其中x,y所滿足的關(guān)系式記為y=f(x).若f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),F(x)=f(x)+af′(x)(a＞0),且F(x)是R上的奇函數(shù).

(1)求和c的值.

(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間(用字母a表示).

(3)當(dāng)a=2時(shí),設(shè)0＜t＜4且t≠2,曲線y=f(x)在點(diǎn)A(t,f(t))處的切線與曲線y=f(x)相交于點(diǎn)B(m,f(m))(A與B不重合),直線x=t與y=f(m)相交于點(diǎn)C,△ABC的面積為S,試用t表示△ABC的面積S(t),并求S(t)的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=.

(1)在函數(shù)y=f(x)的圖象上是否存在一點(diǎn)(m,n),使得y=f(x)的圖象關(guān)于(m,n)對(duì)稱?

(2)設(shè)y=f-1(x)為y=f(x)的反函數(shù),令g(x)=f-1(),是否存在這樣的實(shí)數(shù)b,使得任意的a∈［, ］時(shí),對(duì)任意的x∈(0,+∞),不等式g(x)＞x-ax2+b恒成立?若存在,求出b的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由.

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