設(shè)m，n是給定的整數(shù)，，是一個(gè)正2n+1邊形，．求頂點(diǎn)屬于P且恰有兩個(gè)內(nèi)角是銳角的凸m邊形的個(gè)數(shù)．

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解析:

先證一個(gè)引理：頂點(diǎn)在P中的凸m邊形至多有兩個(gè)銳角，且有兩個(gè)銳角時(shí)，這兩個(gè)銳角必相鄰．

事實(shí)上，設(shè)這個(gè)凸邊形為，只考慮至少有一個(gè)銳角的情況，此時(shí)不妨設(shè)，

則，        

更有．

而+，故其中至多一個(gè)為銳角，這就證明了引理．

由引理知，若凸邊形中恰有兩個(gè)內(nèi)角是銳角，則它們對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)相鄰．

在凸邊形中，設(shè)頂點(diǎn)與為兩個(gè)相鄰頂點(diǎn)，且在這兩個(gè)頂點(diǎn)處的內(nèi)角均為銳角．設(shè)與的劣弧上包含了的條邊（），這樣的在固定時(shí)恰有對(duì)．

（1） 若凸邊形的其余個(gè)頂點(diǎn)全在劣弧上，而劣弧上有個(gè)中的點(diǎn)，此時(shí)這個(gè)頂點(diǎn)的取法數(shù)為．

（2） 若凸邊形的其余個(gè)頂點(diǎn)全在優(yōu)弧上，取，的對(duì)徑點(diǎn)，，由于凸邊形在頂點(diǎn)，處的內(nèi)角為銳角，所以，其余的個(gè)頂點(diǎn)全在劣弧上，而劣弧上恰有個(gè)中的點(diǎn)，此時(shí)這個(gè)頂點(diǎn)的取法數(shù)為．

所以，滿足題設(shè)的凸邊形的個(gè)數(shù)為

                    ．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

f（x）是定義在D上的函數(shù)，若對(duì)任何實(shí)數(shù)α∈（0，1）以及D中的任意兩數(shù)x1，x2，恒有f（αx1+（1-α）x2）≤αf（x1）+（1-α）f（x2），則稱f（x）為定義在D上的C函數(shù)．
（Ⅰ）試判斷函數(shù)f1（x）=x2，f2(x)=
1x
(x＜0)中哪些是各自定義域上的C函數(shù)，并說明理由；
（Ⅱ）已知f（x）是R上的C函數(shù)，m是給定的正整數(shù)，設(shè)an=f（n），n=0，1，2，…，m，且a0=0，am=2m，記Sf=a1+a2+…+am．對(duì)于滿足條件的任意函數(shù)f（x），試求Sf的最大值；
（Ⅲ）若（Ⅱ）中Sf的最大值記為h（m），且h（1）+h（2）+…+h（m）≤a對(duì)任意給定的正整數(shù)m恒成立，試求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）是定義在D上的函數(shù)，若對(duì)D中的任意兩數(shù)x1，x2（x1≠x2），恒有f（
1
3
x1+
2
3
x2）＜
1
3
f(x1)+
2
3
f(x2)，則稱f（x）為定義在D上的C函數(shù)．
（Ⅰ）試判斷函數(shù)f（x）=x2是否為定義域上的C函數(shù)，并說明理由；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，試證明f（x）不是R上的C函數(shù)；
（Ⅲ）設(shè)f（x）是定義在D上的函數(shù)，若對(duì)任何實(shí)數(shù)a∈[0，1]以及D中的任意兩數(shù)x1，x2（x1≠x2），恒有f（ax1+（1-a）x2）≤af（x1）+（1-a）f（x2），則稱f（x）為定義在D 上的π函數(shù)．已知f（x）是R上的m函數(shù)．m是給定的正整數(shù)，設(shè)an=f（n），n=0，1，2，…m，且a0=0，am=2m，記Sf=a1+a2+…+am．對(duì)于滿足條件的任意函數(shù)f（x），試求Sf的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)m，n是給定的整數(shù)，，是一個(gè)正2n+1邊形，．求頂點(diǎn)屬于P且恰有兩個(gè)內(nèi)角是銳角的凸m邊形的個(gè)數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)m，n是給定的整數(shù)，，是一個(gè)正2n+1邊形，．求頂點(diǎn)屬于P且恰有兩個(gè)內(nèi)角是銳角的凸m邊形的個(gè)數(shù)．

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