Question

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線C：y=與直線（＞0）交與M,N兩點，

（Ⅰ）當(dāng)k=0時，分別求C在點M和N處的切線方程；

（Ⅱ）y軸上是否存在點P，使得當(dāng)k變動時，總有∠OPM=∠OPN？說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）存在

【解析】

試題（Ⅰ）先求出M,N的坐標(biāo)，再利用導(dǎo)數(shù)求出M,N.（Ⅱ）先作出判定，再利用設(shè)而不求思想即將代入曲線C的方程整理成關(guān)于的一元二次方程，設(shè)出M,N的坐標(biāo)和P點坐標(biāo)，利用設(shè)而不求思想，將直線PM，PN的斜率之和用表示出來，利用直線PM，PN的斜率為0,即可求出關(guān)系，從而找出適合條件的P點坐標(biāo).

試題解析：（Ⅰ）由題設(shè)可得，，或，.

∵，故在=處的導(dǎo)數(shù)值為，C在處的切線方程為

，即.

故在=-處的導(dǎo)數(shù)值為-，C在處的切線方程為

，即.

故所求切線方程為或.

（Ⅱ）存在符合題意的點，證明如下：

設(shè)P（0，b）為復(fù)合題意得點，，，直線PM，PN的斜率分別為.

將代入C得方程整理得.

∴.

∴==.

當(dāng)時，有=0，則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補，

故∠OPM=∠OPN，所以符合題意.