Question

已知y=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0）的圖象過點P（

π

12

，0），圖象上與點P最近的一個頂點是Q（

π

3

，5）．
（1）求函數的解析式；并用“五點法”畫簡圖；
（2）指出函數的增區(qū)間；
（3）求使y≤0的x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數的圖象過兩個點，可以求出A，根據兩點之間的橫坐標之差為四分之一個周期，可以求出函數的周期，進而得到ω的值，將 （

π

3

，5）點代入求出φ值后，即可得到函數解析式．畫出函數的圖象．
（2）通過正弦函數的單調增區(qū)間直接函數的增區(qū)間；
（3）根據正弦函數的小于0的范圍，得到關于x的不等式，得到函數值小于0時的自變量的取值．

解答：解：（1）由已知點函數y=Asin（ωx+φ）的圖象過點 P（

π

12

，0），
圖象中與點P最近的最高點是 （

π

3

，5），
∴A=5，

T

4

=

π

3

-

π

12

=

π

4

∴T=π
∴ω=

2π

T

=2
∴y=5sin（2x+φ）
將 （

π

3

，5）代入解析式得
5=5sin（

2π

3

+φ）
∴

2π

3

+φ=2kπ+

π

2

，k∈z
∴φ=-

π

6

+2kπ，k∈Z
∵|φ|＜π
令k=0，則有φ=-

π

6

∴y=5sin（2x-

π

6

），
列表如下：

x	π 12	π 3	7π 12	5π 6	13π 12
2x- π 6	0	π 2	π	3π 2	2π
sin（2x- π 6 ）	0	1	0	-1	0
y	0	5	0	-5	0

（2）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

．
得增區(qū)間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]．k∈Z． 
 函數的增區(qū)間：[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]．k∈Z． 
（3）∵y=sinx的滿足y≤0的x的取值范圍是[2kπ-π，2kπ]，k∈z
∴y=5sin（2x-

π

6

）≤0時，有2x-

π

6

∈[2kπ-π，2kπ]，
∴x∈[kπ-

5

12

π，kπ+

1

12

π]（k∈Z）．

點評：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，正弦函數的定義域和值域，本題解題的關鍵是根據已知條件求出A，ω，φ值，得到函數的解析式，這樣才可以求解自變量的范圍，本題是一個中檔題目．