Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)P是該橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，若∠F₁PF₂的最大值為．
（1）求該橢圓的方程；　
（2）求以該橢圓的長(zhǎng)軸AB為一底，另一底CD的兩端點(diǎn)也在橢圓上的梯形ABCD的最大面積．

Answer 1

解：（1）由于∠F₁PF₂的最大值為，則P 的坐標(biāo)為（0，±1），即c=1
∵b=1，∴
∴橢圓的方程為：
（2）由于A(yíng)B∥CD，所以C，D關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，設(shè)
則梯形的面積，
記f（θ）=（cosθ+1）sinθ，則f'（θ）=cos²θ-sin²θ+cosθ=2cos²θ+cosθ-1=0得，即
當(dāng)時(shí)，f'（θ）＞0，f（θ）在單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，f'（θ）＜0，f（θ）在單調(diào)遞增；
所以，故
分析：（1）根據(jù)∠F₁PF₂的最大值為，可得c=1，又b=1，所以，從而可得橢圓的方程；
（2）設(shè)，則梯形的面積，構(gòu)建函數(shù)f（θ）=（cosθ+1）sinθ，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)的最值，即可求得梯形ABCD的最大面積．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查求函數(shù)的最值，解題的關(guān)鍵是正確設(shè)點(diǎn)，利用三角函數(shù)解決問(wèn)題．