Question

如圖所示，設(shè)點A和B為拋物線y²=4px(p＞0)上原點以外的兩個動點，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線．

 

Answer 1

答案：
解析：

解法一：本題考查求動點軌跡的基本方法及綜合應(yīng)用解析幾何知識分析問題、解決問題的能力．求圓錐曲線的動弦上的適合某條件的點的軌跡，常引入?yún)��?shù)，然后根據(jù)題意求其軌跡方程．如題圖所示，因點A、B在拋物線y2=4px上，設(shè)A、B兩點坐標分別為A(，2pt1)、B(，2pt2)． 　　∵　A、B是原點以外的兩點 　　∴　t1t2≠0，OA、OB的斜率分別為kOA =，kOB 　　由OA⊥OB，得kOA·kOB= 　　∴　t1t2=-4 　　AB的方程為　　　　　　　�、� 　　∴　OM的方程為y=　　　　　　　　　　　 ② 　　把②代入①得 　　x-pt1(t1+t2)=x-，即·x-pt1t2=x 　　∵　t1t2=-4， 　　∴　·x+4p=x，即-y2+4px=x2 　　∴　(x-2p)2+y2=4p2(x≠0) 　　∴　點M的軌跡是以(2p，0)為圓心，以2p為半徑的圓(去掉坐標原點)． 解法二：本題是求圓錐曲線的動弦上適合條件的點的軌跡，常引入?yún)��?shù)求其軌跡方程，這是一種綜合型較強的題型，常常出現(xiàn)在考題中．但是在引入?yún)��?shù)后，可以從不同的思路展開，在引入四個參數(shù)后，可考慮從整體的角度進行參數(shù)消元，如下面的解題變換． 　　設(shè)A、B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，點M的坐標為(x，y)． 　　∵　A、B在拋物線上 　　∴　=4px1，=4px2 　　兩式相減，得-=4px1-4px2 　　則有(y1+y2)(y1-y2)=4p(x1-x2) 　　∴　 　　∵　OM⊥AB 　　∴　kOM·kAB=-1，即 　　∴　y1+y2=-4p　　　　　　　　　　　　　　　　　�、� 　　∵　OA⊥OB 　　∴　kOA·kOB=-1，即 　　∴　x1x2+y1y2=0，即+y1y2=0 　　又y1y2≠0，∴　y1y2=-16p2　　　　　　　　　　　　　　② 　　所以直線AB方程為y-y1=(x-x1) 　　即(y1+y2)y--y1y2=4px-4p· 　　將①、②代入整理得x2+y2-4px=0(x≠0) 　　所以點M的軌跡是以(2p，0)為圓心，以2p為半徑的圓(去掉坐標原點)．