Question

方程x²-2ax+4=0的兩根均大于1，則實數(shù)a的范圍是

 

．

Answer 1

分析：方法一：先設方程x²-2ax+4=0的兩根為x₁、x₂，方程x²-2ax+4=0的兩根均大于1，故兩根之和大于2，兩根與1的差的乘積大于0．將此兩不等式轉化為關于參數(shù)a的不等式，解出a的范圍即所求．
方法二：由題設方程相應的函數(shù)與x軸的兩個交點都在直線x=1的右側，且開口方向向上，對稱軸大于1，由此可以將這些特征轉化為

△≥0 f(1)＞0 a＞1

，解之即得a的范圍

解答：解：解法一：利用韋達定理，設方程x²-2ax+4=0的兩根為x₁、x₂，
則

(x1-1)(x2-1)＞0 (x1-1)+(x2-1)＞0 △≥0

∴

4-2a+1＞0 2a-2＞0 4a 2-16＞0

解之得  2≤a＜

5

2

．
解法二：利用二次函數(shù)圖象的特征，設f（x）=x²-2ax+4，
則

△≥0 f(1)＞0 a＞1

，

4a 2-16＞0 1-2a+4＞0 a＞1

解之得2≤a＜

5

2

．
故應填   2≤a＜

5

2

點評：本題考查二次方程根的分布知識，方法一利用根與系數(shù)的關系轉化，方法二利用函數(shù)圖象的特征進行轉化，這是解此類題時常用的兩種方法．