Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=

2n+1an

an+2n

(n∈N*)．
（1）證明數(shù)列{

2n

an

}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)b_n=n（n+1）a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由a_n+1=

2n+1an

an+2n

(n∈N*)，兩邊取倒數(shù)可得：即

2n+1

an+1

-

2n

an

=1，即可證明出；
（2）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（3）由（2）可知，bn=n•2n，利于“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答： （1）證明：由已知可得

an+1

2n+1

=

an

an+2n

，
∴

2n+1

an+1

=

2n

an

+1，即

2n+1

an+1

-

2n

an

=1，
∴數(shù)列{

2n

an

}是公差為1的等差數(shù)列．
（2）由（1）可得

2n

an

=

2

a1

+(n-1)×1=n+1，
∴an=

2n

n+1

．
（3）由（2）可知，bn=n•2n，
∴Sn=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，
2Sn=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1，
相減得-Sn=2+22+23+…+2n-n•2n+1=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹，
∴Sn=(n-1)•2n+1+2．

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式、“錯位相減法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．